持续学习：数学分析之函数与函数极限

接着前几天的实数与数列极限，今天来整理学习笔记--第二章，函数与函数极限。

P.S.:

1. 由于百家号和头条号并不适合写思维导图类型的读书笔记（图片太渣了），现在改为文字纲要的形式。
2. 学习的课本是由科学出版社出版，刘名生，冯伟贞，韩彦昌编写的三册《数学分析》

第二章

第1节，首先介绍映射的概念，映射分为单射，满射，双射。之所以首先介绍映射，是因为后续函数的概念是通过映射的来定义的。函数与映射的关系是，函数是一种特殊的映射，特殊的地方就是函数规定了集合是数集。

函数的确定主要取决于函数的定义域与对应法则。

并非每个对应法则都能由一个数学公式表示的：例如，取整函数，分段函数，符号函数和常值函数。

函数有四种特性：奇偶性，单调性，周期性和有界性

函数之间是可以运算的：满足条件和规则的四则运算，和复合运算（所谓复合就是函数嵌套函数）

反函数：将函数的因变量作为自变量，自变量作为因变量的函数

初等函数：是基本初等函数+有限次的四则运算或者复合运算所得到的新函数

基本初等函数是初等函数的一部分，都在中学学过

• 常值函数，y=c
• 幂函数
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 反三角函数

非初等函数则不是有基本初等函数运算得来的，如符号函数

第2节，通过第1节重新认识了函数后，开始了解函数极限。函数与数列有什么不同呢，数列一定是离散的，函数可以是连续的，例如{an}=1,2,3,4,5... ；而函数f(x)=x x∈R ，f(x)就可以是1,2,3,4,5,5.1,5.001...

第3节，函数极限：

1. 无穷型，数列极限是n->∞ 得到极限的，那么函数极限呢，类似数列极限 f(x)=A x->∞ （或±∞ ）
2. 定值型，x 趋向于一个定值，形如f(x)=A x->x0 （或±x0 ）
3. 注意，同样具有左极限，右极限，极限的概念，函数趋向于某值或无穷的三种极限的关系：左极限=右极限=极限

第4节，函数极限的性质：类比数列极限，函数极限同样具有：

• 唯一性
• 有界性（不过这里是局部有界性）
• 保不等式性
• 保号性（局部保号性）
• 四则运算性 和 复函函数运算

第5节，函数极限的判别法：同样与数列极限很类似

• 迫敛性定理
• 函数单调有界定理
• 柯西准则
• 特别提醒的，归结原则--海涅定理：该定理建立了数列与函数的关系，我们知道数列是一种特殊的函数，函数是一种特殊的映射。有了海涅定理，我们就建立了数列极限与函数极限的关系，利用数列极限的判别法来导出函数极限的存在的条件。

第6节，这是第二章的最后一个小节：讲无穷量

所谓无穷量其实是函数极限的非正常极限 f(x) =∞ x->x0

当 f(x) =+∞ x->x0，则称f(x) 在x->x0时的一个无穷大量

当 f(x) =-∞ x->x0，则称f(x) 在x->x0时的一个无穷小量

无穷大量与无穷小量的关系：1/无穷大量 = 无穷小量

无穷小量的运算：满足±法和乘法 封闭

无穷小量和函数极限的关系：若 f(x)=A x->x0，则f(x)-A 是x->x0时的无穷小量

还有高阶无穷小，同阶无穷小，和等价无穷小

这里特别强调等价无穷小:f(x) /g(x) = 1 x->x0 ,作用是计算极限时可以利用等价无穷小做替换方便计算（等价无穷小只适合替换乘除部分的因子）