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「复习专题」解析二元一次方程知识点及应用

二元一次方程是初中数学学习中的重要内容,上承一元一次方程,下接不等式组。之前的文章内容中我们先后讲述了有关一元一次方程和一元二次方程的内容,那么,我们接着来学习有关二元一次方程的知识点:

复习要求

1、认识二元一次方程(组);

2、了解二元一次方程(组)的解以及求二元一次方程的正整数解;

3、解决有关二元一次方程(组)的实际应用。

二元一次方程的基本内容

1、二元一次方程

(1)二元一次方程的概念

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0(a≠0,b≠0)。

判定二元一次方程必须同时满足三个条件:

①方程两边的代数式都是整式——整式方程;

②含有两个未知数——“二元”;

③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。

(2)二元一次方程的解

使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。一般情况下,一个二元一次方程有无数个解。

2、二元一次方程组

(1)二元一次方程组的概念

由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组,叫二元一次方程组。

注意:二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起:方程可以超过两个,有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程)。

(2)二元一次方程组的解

二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程,同时它也必须是一个数对,而不能是一个数。

(3)二元一次方程组的解法

●a.代入消元法

代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。

通过等量代换,消去方程组中的一个未知数,使二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求得一个未知数的值,然后再求出被消去未知数的值,从而确定原方程组的解的方法。

步骤:

①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如 y,用另一个未知数如 x 的代数式表示出来,即写成 y = ax + b 的形式;

② y = ax + b 代入另一个方程中,消去 y ,得到一个关于 x 的一元一次方程;

③解这个一元一次方程,求出 x 的值;

④回代求解:把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值,从而得出方程组的解。

b.加减消元法

加减法是消元法的一种,也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用,也是今后解其他方程(组)经常用到的方法。

步骤:

①变换系数把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数,使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;

②加减消元:把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;

③解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;

④回代:将求出的未知数的值代入原方程组中,求出另一个未知数的值。

加减消元方法的选择:

1、一般选择系数绝对值最小的未知数消元;

2、当某一未知数的系数互为相反数时,用加法消元;当某一未知数的系数相等时,用减法消元;

3、某一未知数系数成倍数关系时,直接对一个方程变形,使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解;

4、当相同的未知数的系数都不相同时,找出某一个未知数的系数的最小公倍数,同时对两个方程进行变形,转化为系数的绝对值相同,再用加减消元求解。

二元一次方程的应用

数学来源于生活又服务于生活,我们把生活实际中的问题,用设未知数的方法用二元一次方程来刻画,就把实际问题,转化成了数学问题,这种解题就是数学中的建模思想,它能化难为易化抽象为具体,也是我们学习方程的重点。

列方程组与列一元一次方程基本类似,只不过列二元一次方程组解应用题时,应从题目中找出两个独立的相等关系,根据这两个相等关系列方程组求解。尤其是在七年级没学好一元一次方程的同学,需要及时有效的补缺。

一、列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系。

所列方程必须满足:

(1) 方程两边表示的是同类量;

(2) 同类量的单位要统一;

(3) 方程两边的数值要相等。

二、二元一次方程组的应用步骤

(1)审题:弄清题意及题目中的数量关系

(2)设未知数:可直接设元,也可间接设元

(3)找等量关系:根据相关公式变量等,找出题目中的等量关系

(4)列方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组

(5)解方程组:利用消元法等方法解所列的方程组

(6)检验:检验解的正确性,是否满足实际问题

(7)答话:回答题目问题

三、常用的基本等量关系

1)行程问题:

(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程。

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。

(3)航行问题:

①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;

②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;

③顺水速度-逆水速度=2×水速。

注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2、利润问题:

(1)利润=售价-成本(进价);

(2)利润=成本(进价)×利润率;

(3)标价=成本(进价)×(1+利润率);

(4)实际售价=标价×打折率;

注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)

3、储蓄问题:

■(1)基本概念

①本金:顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和:本金与利息的和叫做本息和。

④期数:存入银行的时间叫做期数。

⑤利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税:利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息=本金×利率×期数

②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)

③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率

④税后利息=利息× (1-利息税率)

⑤年利率=月利率×12

注意:当题目中涉及免税利息时,需要明晰免税利息=利息

4、数字问题:

解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等。

有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字

5、其他问题:

(1)工程问题:工作效率×工作时间=工作量

(2)增长率问题:原量×(1+增长率)=增长后的量;原量×(1-减少率)=减少后的量

(3)和差倍分问题:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量

(4)几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

(5)年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的

老刘有话说:

涉及二元一次方程需要注意以下要点:

(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去

(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称

(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

(4)列方程组解应用题应注意的问题:

①弄清各种题型中基本量之间的关系;

②审题时注意从文字,图表中获得有关信息;

③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位;

④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;

⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件;

⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

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