详解全等三角形辅助线应用，与角平分线相关题型

全等三角形在考试中，辅助线的做法是经常会用的，也是解决证明题的有效的方法之一，继详解中点相关辅助线的做法后，今天和同学们一起学习与角平分线相关题型的辅助线的做法。希望能够帮助到同学们更好的理解辅助线的做法，以及更好的学好几何证明题。

例1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC交BC于E，AD=AB+CD.

（1）求证：E是BC的中点； （2）判断AE与DE的位置关系，并说明理由；（3）求证：AE平分∠DAB.

【解析】证明：（1）延长DE交AB延长线于点F，

∵CD∥AB，∴∠CDE=∠F，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，∴∠ADE=∠F，∴AD=AF，

∵AD=CD+AB，AF=AB+BF，∴BF=CD，在△CDE和△BFE中，∵∠CDE=∠F，∠CED=∠BEF，CD=BF，∴△CDE≌△BFE，∴CE=BE，即E是BC中点；

（2）（3）由（1）知，△CDE≌△BFE，∴DE=EF，∵AD=AF，∴AE⊥DF，AE平分∠DAB，

即AE⊥DE；AE平分∠DAB.

例2. 已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：BAD+∠BCD=180°.

【解析】证明：过点D作DE⊥BC于D，DF⊥AB于F，

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE和Rt△ADF中，∵AD=CD，DE=DF，∴Rt△CDE≌Rt△ADF，∴∠C=∠FAD，∵∠FAD+∠BAD=180°，∴∠C+∠BAD=180°.

例3. 如图，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的角平分线.求证：AC+CD=BC.

【解析】证明： 在BC上截取CE=AC，连接DE，

∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠ECD，在△ACD和△ECD中，∵AC=CE，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD，∴∠A=∠CED，∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，∵∠CED是△BDE的外角，∴∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴DE=BE=AD，∴BC=CE+BE=AC+AD.

例4. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、点F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF=∠BAO，若∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE.

（2）如图2，OA=OB，△AMN是等腰三角形，将△AMN绕点A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连接BN，取BN的中点P，猜想OP与MP的位置关系与数量关系，说明理由.

【解析】证明：（1）∵点A与点C关于y轴对称，

∴OA=OC，AB=BC，∠BAO=∠BCE，∵∠AFE是△BEF的外角，∠BEC是△ABE的外角，

∴∠AFE=∠ABE+∠BEF，∠BEC=∠ABE+∠BAO，∵∠BEF=∠BAO，∴∠AFE=∠BEC，

∴∠AEF=∠CBE，∴∠ABO=∠CBO=∠EBO+∠CBE=∠EBO+∠AEF，

∴∠FBE=∠ABO+∠EBO=2∠EBO+∠AEF，∠BFE=∠BAO+∠AEF=2∠EBO+∠AEF，

∴∠FBE=∠BFE，∴EF=BE，在△AEF和△CBE中，∵∠FAE=∠ECB，∠AFE=∠BEC，EF=BE，

∴△AEF≌△CBE，∴AF=CE.

（2）OP⊥MP，OP=MP，理由如下，延长MP至C，使PC=MP，连接BC,MO,延长AM交BC于D，连接OC，ON，

∵P为BN的中点，∴PN=PB，在△MPN和△CPB中，∵PN=PB，∠MPN=∠CPB，MP=CP，

∴△MPN≌△CPB，∴MN=AM=BC，∠MNP=∠CBP，∴MN∥BC，∵∠AMN=90°，∴∠ADB=90°，∴∠OBD=∠MAO，在△AMO和△BCO中，∵OA=OB，∠OBD=∠MAO，AM=BC，∴△AMO≌△BCO，∴OM=OC，∠MOA=∠COB，∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠BOA=90°，即△OMC是等腰直角三角形，又因为MP=PC，∴OP⊥MP，OP=MP.

例5. 如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC（1）如图1，AB=8，点D是AC边上的中点，求△BCD的面积.（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，猜想线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由.（3）如图3，若点E、D是AC边上的两点，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB=∠CEG.

【解析】证明：（1）∵∠BAC=90°，BA=AC=8，D是AC边上的中点,

∴AD=CD=4，∴S△BCD= S△ABD=16.

（2）BC=AB+AD，理由如下，过点D作DE⊥BC于E,

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠BAC=90°，∴AD=DE，∠BAD=∠EBD，∴△ABD≌△EBD，

∴AB=BE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴∠C=∠CDE=45°，∴CE=DE=AD，

∴BC=BE+CE=AB+AD.

(3)过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，

由题意知，∠DAF+∠ADF=∠ABD+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠ABD，∵AB=AC，HCA=∠DAB，

∴△ABD≌△CAH，∴AD=CH，∠ADB=∠H，∵AD=CE，∴CH=CE，∵∠ACB=45°，ACH=90°，

∴∠BCH=∠ACB=45°，∴△ECG≌△HCG，∴∠GEC=∠H，∴∠ADB=∠CEG.