几何最值的计算是考试中的一个难点,解决此类计算一般可借助以下定理:
(1)利用轴对称转化为:(将两点之间的折线转化为两点之间的直线段)
两点之间的距离——两点之间,线段最短;
(2)利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
(3)利用一点到直线的距离:
垂线段最短——将点到直线的折线段转化为点到直线的垂线段;
(4)利用特殊角度(30°,45°,60°)将成倍数的线段转化为首尾相连的折线段,在转化为两点之间的直线段最短;
(5)找临界的特殊情况,确定最大值和最小值 .
因此,在以上定理的基础之上,关键在于特征的转换,减少变量,从而快速高效率解题 .
该类问题的几种常见模型:
一、两点之间线段最短
【例题1】如图,有 A , B , C , D 四个村庄,现准备打一口井,使得水井到四个村庄的距离之和最短,请确定水井的位置 .
【分析】根据线段的性质:两点之间,线段距离最短;结合题意,要使它与四个村庄的距离之和最小,
就要使它在 AD 与 BC 的交点处 .
【解析】如图所示,连接 AD , BC,它们的交点是 E,点 E 就是水井的位置,这一点到 A , B , C , D 四
点的距离之和最小 .
【解题策略】如果不在 E 点,假设在 T 点,那么根据三角形两边之和大于第三边可得到:
AT + DT > AD , 且 CT + BT > CB , 于是 AT + DT + CT + BT > AD + CB .
所以水井所在位置只能在 AD 与 CB 的交点处,才能使其到四个村庄的距离之和最小 .
二、点到直线的距离中垂线段最短
【例题2】如图,在 △ABC 中,点 P 为边 AC 上一动点,若 AB = AC = 5 , BC = 6 ,
则 AP + BP + CP 的最小值是多小?
【分析】若 AP + BP + CP 最小,就是说当 BP 最小时,AP + BP + CP 才最小,
因为无论点 P 在 AC 上的哪一点,AP + CP 都等于 AC .
那么就需要从 B 向 AC 作垂线段,交 AC 于点 P .
先设 AP = x , 再利用勾股定理可得关于 x 的方程,解即可求出 x,
在 Rt△ABP 中,利用勾股定理可求出 BP,那么 AP + BP + CP 的最小值即可求解 .
【解析】过点 B 作 BP⊥AC,垂足为 P,设 AP = x , 则 CP = 5 - x .
【解题策略】将一些定长的线段剔除掉,专注于去考虑变化的线段的取值,
转化为定点到定直线的距离,再利用 “点到直线的距离中,垂线段最短” 来求解 .
三、利用轴对称图形
【例题3】如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5 , AD = 3 , 动点 P 满足 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD,
则点 P 到 A 、B 两点距离之和 PA + PB 的最小值是多少?
【分析】首先由 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD,得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l
上,作 A 关于直线 l 的对称点 E , 连接 AE 、BE,则 BE 就是所求的最短距离.
然后在直角三角形 ABE 中,由勾股定理求得 BE 的值,即 PA + PB 的最小值 .
【解析】设 △ABP 中 AB 边上的高是 h ,
∵ S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD,
∴ 1/2 AB ▪ h = 1/3 AB ▪ BC ,
∴ h = 2/3 BC = 2/3 × 3 = 2 .
∴ 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上,如图,作 A 关于直线 l 的对称点 E ,
连接 AE 、BE,则 BE 就是所求的最短距离.
在 Rt△ABE 中,
∵ AB = 5 , AE = 2 + 2 = 4 ,
即 PA + PB 的最小值是 √41 .
【解题策略】本题考查了轴对称——最短路线问题,三角形的面积,矩形的性质,勾股定理,
两点之间线段最短的性质,得出动点 P 所在的位置是解题的关键 .
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