本节主要来介绍下巧用数学思想来解与二次函数有关的问题 .
一、数形结合思想
【例题1】如图,已知二次函数 y1=﹣x2 + 13/4 x + c 的图象与 x 轴的一个交点为 A(4,0),
与 y 轴的交点为 B,过 A、B 的直线为 y2 = kx + b.
(1)求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标;
(2)由图象写出满足 y1<y2 的自变量 x 的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点 P,使得 △ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形?
若存在,求出 P 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案与解析】
解:
(1)将 A(4,0)代入 y1,得 ﹣16 + 13 + c = 0.
解得 c = 3,
∴ 二次函数 y1 的解析式为 y=﹣x2 + 13/4 x + 3,
∴ B 点坐标为(0,3);
(2)由图象得直线在抛物线上方的部分是 x<0 或 x>4,
∴ x<0 或 x>4 时,y1<y2;
(3)直线 AB 的解析式为 y=﹣3/4 x + 3,
AB 的中点为(2,3/2),
AB 的垂直平分线为 y = 4/3 x﹣7/6 ,
当 x = 0 时,y =﹣7/6,P1(0,﹣7/6),
当 y = 0 时,x = 9/4,P2(7/8,0),
综上所述:P1(0,﹣7/6),P2(7/8,0),使得 △ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形.
【点评】
本题考察了二次函数综合题,
(1)利用待定系数法求函数解析式;
(2)利用函数与不等式的关系求不等式的解集;
(3)利用线段垂直平分线的性质,利用直线 AB 得出 AB 的垂直平分线是解题关键.
二、函数与方程思想
【例题2】某体育用品店购进一批单件为 40 元的球服,如果按单价 60 元销售样,
那么一个月内可售出 240 套,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,
即销售单价每提高 5 元,销售量相应减少 20 套.
设销售单价为 x(x ≧ 60)元,销售量为 y 套.
(1)求出 y 与 x 的函数关系式;
(2)当销售单件为多少元时,月销售额为14000 元?
(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?
【答案与解析】
解:
(1)销售单价为 x 元,则销售量减少 1/5(x - 60)× 20,
故销售量为 y = 240﹣ 1/5(x - 60)× 20 =﹣4x + 480(x ≥ 60);
(2)根据题意可得,x(﹣4x + 480)= 14000,
解得 x1 = 70,x2 = 50(不合题意舍去),
故当销售价为 70 元时,月销售额为 14000 元;
(3)设一个月内获得的利润为 w 元,根据题意得:
w =(x﹣40)(﹣4x + 480)
=﹣4x2 + 640x﹣19200
=﹣4(x﹣80)2 + 6400.
当 x = 80 时,w 的最大值为 6400.
故当销售单价为 80 元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是 6400 元.
【点评】
本题考查了函数模型的选择与应用,考查了数学建模思想方法,关键是对题意要正确理解.
三、分类讨论思想
【例题3】若函数
则当函数值 y=8 时,自变量 x 的值是 ( ).
A.±√6 B.4 C.±√6 或 4 D.4 或 -√6
【思路点拨】
此题函数是以分段函数的形式给出的,当 y=8 时,求 x 的值时,注意分类讨论 .
【答案】D;
【解析】
由题意知,当 x2 + 2 = 8 时,x = ±√6.而 √6 > 2,
∴ x = - √6 .x = √6 (舍去).
当 2x=8 时,x=4.
综合上知,选 D.
【点评】
正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.
【例题4】已知抛物线 C1:y=ax2+4x+c 与 x 轴交于 M(-4,0) 和 N 两点,
且抛物线过点 A(-2,-4).
(1) 求抛物线 C1 的表达式;
(2) 抛物线 C2 与抛物线 C1 关于直线 x=m ( m ≠ -2 ) 对称,点 M 的对应点为 P,
若 △AMP 是等腰三角形,求 m 的值及抛物线 C2 的表达式.
【参考答案】
解:
(1) ∵ 抛物线 C1:y=ax2+4x+c 过点 M(-4,0) 和点 A(-2,-4),
∴ 抛物线 C1 的表达式为 y=x2+4x;
(2) 令 x2+4x=0,解得 x1=0,x2=-4,
∴ 点 N 的坐标为 (0,0).
易得抛物线 C1 的对称轴为直线 x=-2,且点 A(-2,-4) 为抛物线 C1 的顶点.
若 △AMP 是等腰三角形,分为以下三种情况:
如解图,设点 P 的坐标为 (x,0),
① 当 AM=AP1 时,
∵ 点 M 与点 P1 关于直线 x=-2 对称,
∴ 直线 x=m 与抛物线 C1 的对称轴 x=-2 重合,
∵ m ≠-2,此时不符合题意,故舍去;
② 当 MP2=AP2 时,有 (x+4)2=(x+2)2+16,
解得 x=1,
∴ P2(1,0),
∴ m=1/2 (-4+1)=-3/2 .
∴ 顶点 A 关于直线 x=-3/2 对称的点为 A1(-1,-4) ,
∴ 抛物线 C2 的表达式为 y=(x+1)2-4;
③ 当 MP3=AM,MP4=AM 时,有 (x+4)2=2^2+4^2,
解得 x=-4 ± 2√5,
∴ P3(-4-2√5,0),P4(-4+2√5,0),
∴ m=-4 ± √5,
∴ 顶点 A 关于直线 x=-4+√5,x=-4-√5 的对称点分别为 :
A2(-6+2√5,-4),A3(-6-2√5,-4),
∴ 抛物线 C2 的表达式为 y=( x+6-2√5 )2-4 或 y=( x+6+2√5 )2-4.
综上所述,当 △AMP 是等腰三角形时,
m 的值为-3/2,-4+√5 或-4-√5,
此时抛物线 C2 的表达式分别为 y=(x+1)2-4 或 y=(x+6-2√5)2-4 或 y=(x+6+2√5)2-4.
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