提要
方程与函数是研究数量关系及变化规律的数学模型，它能从数量关系的角度准确而清晰地认识，描述，把握现实。努力挖掘题目深层隐含地函数及方程的实质，就可以主动地运用函数及方程的数学去解决问题，并能使知识转化为能力。由于方程和函数的关系密切，它们都是含有未知数的等式，所以它们之间可以互相转化。
知识全解
一．方程思想的概念
方程是含有未知数的等式，是刻画现实世界的一个有效模型。方程思想就是把未知量用字母表示，再根据已知量之间的数量关系列出方程（组），从而使问题得以解是重要的数学思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组），这种思想在代数，几何及生活实际中有着广泛的应用。
二．函数思想的概念
函数是刻画变量间关系的常用模型。函数思想就是运用运动变换的观点去观察、分析和处理问题的思想。函数思想主要用于研究数量间的关系和变化状态的相关问题，也是重要的数学思想。
函数思想主要是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后解决问题。
三．解题策略
值得注意的是，数学思想作为解数学题的指导思想，并不是相对独立的，利用方程思想解决函数问题或者利用函数思想解决方程问题的情况也时有发生。
类型1 利用函数、方程思想化简、求值
【点评】本题考查了分式求值问题，解题的关键是利用主元法解出关于x的一元二次方程，再代入求值。本题也可以把y看作主元，求出y（用x的代数式表示）后代入求值。
类型2利用函数、方程思想解决实际问题
例2 长城汽车销售公司5月份销售某型号汽车。当月该型号汽4的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万儿/辆。根据市场调查，月销售量不会突破30台。
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）
【解析】(1)列函数关系式时，应注意分段计价：①当0≤x≤5且x为整数时，y=30；②当6≤x≤30，且x为整数时，y=30-0.1×(x-5)= -0.1x+30.5。
(2)分月售出低于5辆和多于5辆分别求解
(1)①当 0<x≤5且x为整数时，y=30。
②6≤x≤30且x为整数时，y= -0.1x+30.5
(2)若该月售出低于5辆，(32-30)×5<45，不符合题意，因此售出要多于5辆。
设该月销售x辆，则由题可得：x[32-（-0.1x+30.5）]=45
解得：x1= 15,x2=-30（舍去）
答：该月需要售出15辆汽车．
【点评】本题综合考查了一次函数和一元二次方程的有关知识，关键是将实际问题转化为数学问题，根据题意，构建一次函数和一元二次方程模型求解。
例3 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成20cm和36cm两部分，求这个三角形各边的长。
【点评】解答本题时要注意分两种情况求解，以避免漏解。
真题演练
例1 应用方程或函数做出决策
新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/平米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120平米。
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送。
（1）请写出售价y（元/平米）与楼层x（1≤x≤23,x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第16层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算。
【解析】（1）分x≥8及x≤8两种情况列出函数关系式
（2）列方程求解
(1)当x≥8，x取整数时，y=4000+50（x-8）=3600+ 50x；
当x≤8，x取整数时，y=4000-30 (8-x) =3760+30x.
(2)当x=16时，y=3600+50×16= 4400，总价= 4400×120 =528000（元）．
方案一：528000×(1 8%)-a；
方案二：528000x（1- 10%）
所以528000×(1—8%) -a=528000×（1- 10%），解得a=10560
所以，当a<10560时，选择方案二；
当a=10560时，两种方案均可；
当a>10560时，选择方案一。
【点评】本题属决策类问题，根据题意列出函数关系式和方程，为研究、选择优惠方案提供了具有说服力的依据。
例2 利用方程或函数设计方案
为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21棵。已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元。设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元。
(1)y与x的函数关系式为：
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
【解析】(1) y=-20x+1890；
(2)由题意，知x<21-x，解得x< 10.5．
又∵x≥1，∴x的取值范围是：1≤x≤10且x为整数
由(1)知：对于函数y= -20x+1890，y随x的增大而减小
∴当x=10时，y有最小值：y=-20×10+1890=1690
所以，使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元。
【点评】本题通过建立一次函数模型解最大（或最小）值问题，一般情况下，一次函数的最大（或最小）值只能在某一线段的两个端点中的某一端点取得。
例3利用方程或函数思想求解平面图形问题
如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD,则AP的长为多少？
【点评】勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题。
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