初中几何中最复杂的定理，垂径定理及其推论算一个。
垂径定理的内容是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。这个定理为什么能成为最复杂的定理呢？那当然是对其推论的研究。
我们通过课堂学习已经知道，这个定理的内容可以拆分成以下五个知识点：（1）平分弦所对的优弧；（2）平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧)；（3）平分弦(不是直径)；（4）垂直于弦；（5）过圆心。
如果有一条直线，它在上述5个条件中，只要满足其中任意两个条件，就可以推出其他三个结论。在初中数学学习中，我们称为“知二推三”。这样，原来的一个定理，实际上已经变成了10个定理。这可以说是初中几何学习中，我们所见到的定理中，它当之无愧地成为第一个最复杂的几何定理。所以对这个定理，各地出题的考官纷纷发招，选择其进行命题，实现对学生掌握本节知识情况进行考查的目的。
当然，本节内容与其他单元的内容一样，基本上很少单独出来在考题中，多数会与其他知识进行融合，比如圆周角定理、直角三角形、全等三角形、相似三角形、三角函数等。所以对本单元的复习，也要善于放到大环境中进行研究学习。
现在，请大家走进圆的世界吧！
因网页不支持数学公式，所有试题请以图片为准。
本人是一名数学教师，也是一名公益志愿者。
如果我的付出，对你或你的亲友有所帮助，期待你
（1）关注我！
（2）在评论区留言支持！
（3）把这份资料转发给需要它的同学！
（4）你自己（亲友）能收藏用上这份资料！
（5）在本文之前和之后，已发布大量的相关复习资料，欢迎查阅使用。
一、选择题
2. 考点垂径定理．分析根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
3. 考点垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．分析首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
4. 考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH= OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= ，所以CD=2CH=2 ．
点评本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
5. 分析设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
6. 点评本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7. 分析根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．点评本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
8. 分析由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立；
由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立；
由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立；
△CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案．
点评此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
9. 分析先根据垂径定理得到CE＝DE，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝45°，则△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝ OC＝3 ，从而得到CD的长．
点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
10. 分析先根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出BC＝3，再根据垂径定理得到CD＝AD＝ AC＝4，然后利用勾股定理计算BD的长．
点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
二、填空题
12. 分析： 根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
13. 分析：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A= ，从而得到满足条件的PA的长．
点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．
14. 考点垂径定理的应用．分析设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解决问题．
15. 15°或105°．考点：垂径定理；：解直角三角形．分析根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
点评本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．
16. 点评本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
17. 分析连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE=BE=3，设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，根据勾股定理得到32+（r-1）2=r2，解得r=5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG=FG，则AG2+OG2=52，AG2+（5-OG）2=62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
18. 分析连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝ CD＝ ，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2 ，AC＝ BC＝2 ，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
点评本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
19. 分析连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．
点评本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
20. 点评本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、应用题
21. 分析①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧 的长；②根据切线的性质以及垂径定理，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6 ；④判定△ACP∽△QCA，即可得到 = ，即CPCQ=CA2，据此可得CPCQ为定值．
点评本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
24. 点评此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
25.试题分析：（1）利用垂径定理，将证明转化为证OE⊥BC，通过角的关系可证明；
（2）由题意易证△BDE∽△ABE，可得BE、ED、EA的关系，再利用一元二次方程根与系数的的关系，代入可求解；
（3）根据锐角三角函数，利用直角三角形求得AO的长，然后根据勾股定理可求解。
(此题证△AMB ∽△FMA，用AB表示AF，在Rt△ABF中用勾股定理求AB亦可)
考点：垂径定理，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形，解直角三角形.
联系客服
