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2010年高考数学大纲卷解析几何试题评析

注:本文已经发表在《中国数学教育》杂志>高中版2010年第9期上



2010年高考数学大纲卷解析几何试题评析

 


王发成(石家庄市第八十一中学    050011

张强(河北省教育厅教科所    050000

 

内容提要:综观2010年全国各地高考解析几何试题,基本上继承和发扬了“题型、内容和难度相对稳定,突出考查数学主干知识,注重通性通法的同时适度创新”的特点,命题日趋成熟,多数题目源于教材又高于教材,且综合运用方程、不等式、函数和平面向量等工具,合理调控综合程度,宽角度、高视点、多层次地考查了解析几何的基本思想和学生的数学素养,基本上遵循了“有助于高校选拔人才,有助于中学实施素质教育”的原则.本文重点分析了今年解析几何试题考察的特点与趋势,结合阅卷情况和中学教学实际,有针对性地提出高考复习的几点建议,希望中学教师重新审视解析几何复习课的地位和功能,在实践中构建符合新课程理念的新的复习模式,从而全面提高学生成绩.

 

关键词:命题趋势、试题评析、复习建议

 

 


一、《教学大纲》和《考试大纲》对本专题的要求

《教学大纲》和《考试大纲》关于本专题的内容主要包括直线与方程、圆和圆锥曲线.具体要求如下:

1)直线与方程

①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.

②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.

③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

2)圆与方程

①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.

②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定的两个圆方程判断两圆的位置关系.

③能用直线和圆方程解决一些简单问题.

④了解用代数方法处理几何问题的思想.

3)圆锥曲线

①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.

④了解圆锥曲线的简单应用.

⑤理解数形结合的思想.

4)曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

二、2010年全国各地高考数学试卷在本专题所考查的知识类型分析

1、总体评价

综观2010年全国各地高考解析几何试题,基本上继承和发扬了“题型、内容和难度相对稳定,突出考查数学主干知识,注重通性通法的同时适度创新”的特点,命题日趋成熟,多数题目源于教材又高于教材且综合运用方程、不等式、函数和平面向量等工具,合理调控综合程度,宽角度、高视点、多层次地考查了解析几何的基本思想和学生的数学素养,遵循了“有助于高校选拔人才,有助于中学实施素质教育”的原则.

本年度各地高考数学试卷(大纲卷)涉及解析几何内容的试题情况见下表:

卷别

题号

(分值)

考查的主要内容

全国卷Ⅰ

95

 

115

 

 

165

 

2112

等轴双曲线定义,余弦定理,三角形面积公式

圆的切线,三角函数公式,利用导数或均值定理求最值,平面向量的数量积

椭圆的定义及其标准方程,椭圆的简单几何性质,

抛物线方程及其简单的几何性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,平面向量的数量积,圆方程

全国卷Ⅱ

125

 

 

155

 

 

2112

椭圆的定义及其标准方程,直线与椭圆的位置关系,共线向量

抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质,共线向量,中点坐标公式

双曲线的定义及其标准方程,双曲线简单的几何性质,直线与双曲线的位置关系,弦长公式,两点间距离公式,圆的几何性质

湖北卷

95

 

1912

 

直线与圆的位置关系,点到直线距离公式,

直线与抛物线位置关系,两点间距离公式,向量的坐标运算,解一元二次不等式

江西卷

85

 

154

 

2112

 

直线与圆相交,点到直线的距离公式

双曲线的标准方程,两点间距离公式,解一元二次方程

椭圆标准方程及其简单的几何性质,抛物线方程,两直线垂直的条件,三角形垂心、重心

四川卷

95

 

144

 

2012

 

椭圆标准方程及其简单的几何性质,椭圆第二定义

直线与圆相交,点到直线的距离公式

直线与双曲线的位置关系,直线方程,两点间距离公式,向量垂直的条件

重庆卷

85

 

145

 

 

2012

圆参数方程,直线与圆相交,直线的倾斜角

抛物线标准方程及其简单的几何性质,直线与抛物线的位置关系

双曲线标准方程及其简单的几何性质,直线方程,三角形面积公式

2、考察特点与趋势

解析几何体现了代数与几何的完美结合,是支撑数学科知识体系的主要内容,在全国各地高考数学试卷中始终保持着较高的比例并达到了必要的深度和难度.

客观题重点考查的内容是:直线与方程,圆方程,圆锥曲线的定义,标准方程及其应用,离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质以及数学科内在的联系和综合.解答题重点考查的内容是:圆锥曲线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系.常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.

本专题命题主要趋势:

1)进一步深化能力立意,渗透解析思想,注重数学知识的整体性.各地试题不断改变圆锥曲线内部基础知识的编排顺序与配合方式,多数题目将曲线与方程、简单的几何性质和坐标法等知识与方法有机地综合为一体,全面考查学生的数学素养.

2)进一步加强解析几何与平面向量、函数(包括三角函数)、方程、不等式、数列、导数等相关知识的链接、渗透与融合,注重在知识网络的交汇点处设计试题,多数试题以全新的面孔呈现.例如,平面向量和解三角形的知识与方法已成为解决解析几何问题的优秀助手.

3)注重考查思考问题角度的广阔性和方式方法的多样性,特别是自主发现能力和创新意识. 多数试题在强调考查通性通法、淡化特殊技巧的同时,增加了思考量和运算量.解答题一般设置2-3问,起点低、入口宽、层次分明、阶梯式递进,有较好的区分度,有利于高校选拔人才.

4)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、圆的切线等)的研究与讨论是解析几何中永恒的主题.解决此类问题的代数方法是:首先,将直线方程和曲线方程联立组成方程组,由方程组解的个数,得到直线与曲线公共点的个数;然后判断直线与曲线是相离、相切还是相交,进而解决相关问题.

相交问题中利用根判别式和韦达定理 解决的有弦长、中点弦、焦点弦等问题,其研究过程可分为三个阶段:

第一阶段:设直线 与圆锥曲线 交于两点 .

联立方程组 ,消去 (或 ),得: (或 .

得: .

(注意消元后 时的特殊情况)

第二阶段:用 或坐标的其它形式)表示出题目中涉及到的几何量或代数关系式.

第三阶段:综合前两阶段的结果,转化为一个代数问题,进而解决所求问题.这一阶段呈现出形式多样、变化复杂、思考量和运算量较大的特点.

以上“三个阶段”体现了代数问题与几何问题的转化过程,所以直线与圆锥曲线的位置关系的问题可以从多个角度考查学生对解析几何本质的认识水平.

三、2010年全国各地高考数学试卷解析几何专题分类评析

今年,全国各地高考解析几何部分继续考查两大基本问题:一是根据已知条件求出曲线的方程;二是通过曲线方程,研究曲线简单的几何性质.可以大致归纳为以下几种类型.

类型1  求曲线(轨迹)方程

求曲线(轨迹)方程,实质上是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”.一般包括两类:一类是求圆锥曲线(包括圆)的标准方程.基本步骤是:定型(确定曲线类型)——定位(判定曲线中心、对称轴的位置)——定量(建立关于基本量的方程或方程组——求出基本量 的值.常用方法有定义法和待定系数法.另一类是求一般的轨迹方程.例如四川卷(理)20题第(Ⅰ)问,直接将动点满足的几何条件坐标化,列出等式 ,化简之后可得动点的轨迹方程 .这类题目的基本解题步骤是:建系——设点(设动点坐标为 )——列方程——化简——验证.常用方法有:直接法、相关点法、参数法、交轨法(如广东卷,理201问)等.

1(全国Ⅰ卷,理21)已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 相交于 两点,点 关于 轴的对称点为 .

(Ⅰ)证明:点 在直线 上;

(Ⅱ)设 ,求 的内切圆 的方程.

评析从阅卷情况看,第(Ⅰ)问起点低,思路开阔,方法较灵活.即可用数形结合探索(如证 ,或证 ,也可用代数方法讨论(如证 ,或证 ,或先求出直线 的方程,再验证 在直线 上).

(Ⅱ)问中,将直线 的方程设为 ,交替使用 的方程代入到条件 中,容易得到关于 的方程,这是考生应变能力强的体现.若备考时过分注重程式化, 的方程设为 再与 的方程联立,多数考生因数据处理能力不足,出错率较高,无法完成解答.另外,部分考生不能发现试题中蕴含的代数特征与几何性质,或不能很好利用这些特性快速解题.如本题中, 内切圆心是内角平分线交点,发现圆心在 轴上,巧设 ,再利用 距离相等,得: ,求出 值,可以简化运算过程.

因此,教学时,应让学生熟练掌握圆锥曲线的标准方程、位置特征、基本量与简单的几何性质,为快速解答解析几何综合题奠定坚实的基础.

类型2  定点和定值问题

现实世界中变化是永恒的,不变是相对的.定点和定值问题是指在一定的情境下,研究运动变化过程中不随其它因素改变而改变的量.一般思路是:先将变动元素用参数表示,再通过计算或推理判断结论与题设中的参数值无关.近几年的解析几何试题中,定点和定值问题在各类题型中均有所涉及,着重考查特殊化与一般化、等价转化思想和逻辑推理能力.

2(四川卷,理20)已知定点 ,定直线 ,不在 轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的距离的2.设点 的轨迹为 ,过点 的直线交 两点,直线 分别交 于点 .

(Ⅰ)求 的方程;

(Ⅱ)试判断以线段 为直径的圆是否过点 ,并说明理由.

评析(Ⅱ)问应采用综合分析法.欲判断以线段 为直径的圆是否过点 ,只要证 ,即证 .这是将动点 置于定点 的控制下,利用向量方法判断的一个典型问题. 解题过程凸现了向量的工具功能,淡化了传统的推理方式,降低了思维难度,方法简洁自然,令人赏心悦目.

3重庆卷,理20已知以原点 为中心, 为右焦点的双曲线 的离心率

1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程;

2)已知过点 的直线 与过点 (其中 )的直线 的交点 在双曲线 上,直线 与两条渐近线分别交与 两点,求 的面积.

评析2)中,由点 在直线 上,则有 ,经比较两等式,知点 都在直线 上,即为直线 的方程.这一步解答构思巧妙,新颖别致.但是,考生受定势思维的影响,一般先由直线 组成方程组,求出点 的坐标,再写出直线 的方程,则运算量大,极易出错.

接下来的过程就变得思路通畅,解答轻松自如了.只要将直线 的方程与渐近线方程联立,组成方程组,分别求出点 的纵坐标 ,又 ,且 ,得:

.

类型3  对称问题

解析几何中的对称问题,一般分散地穿插在直线和曲线部分的题型之中,是解析几何中重要的基础内容,也是近几年来高考热点问题之一.

4(江西卷,理21)设椭圆

,抛物线 .

() 经过 的两个焦点,求 的离心率;

() ,又 不在 轴上的两个交点,若 的垂心为 ,且 的重心在 上,求椭圆 和抛物线 的方程.

评析第()中,若能从图中发现点 关于 轴对称,设 是减少参数,减轻运算量,迅速求解的关键.

由于对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想.因此,日常教学中应借助专题训练,使学生能灵活应用对称点、对称直线的求法,理解并掌握对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法.

类型4  参数范围和最值问题

解析几何中求参数取值范围和最值问题,由于涉及的变量多,知识面广,综合性强,一直是解析几何的重点和难点,也是高考命题的热点之一.

5(四川卷,理9)椭圆 的右焦点 ,其右准线与 轴的交点为 ,在椭圆上存在点 满足线段 的垂直平分线过点 ,则椭圆离心率的取值范围是(D

A B C D

评析把握住“形”的特征——线段 的垂直平分线过点 注重“数”的分析——利用椭圆第二定义,得: ,构建不等式 是这类题目求解的突破口.

这类问题既沟通了含参数的方程和不等式,平面向量等知识之间的内在联系,又渗透了数形结合、运动变化、等价转化等重要数学思想,方法简单,过程清晰,解答直观,规律性强,是培养创新思维的良好素材.

6(湖北卷,理19)已知一条曲线 轴右边, 上每一点到点 的距离减去它到y轴距离的差都是1.

)求曲线 的方程;

)是否存在正数 ,对于过点 且与曲线 有两个交点 的任一直线,都有 若存在,求出 的取值范围;若不在,请说明理由.

评析在第)中,设过点 的直线 与曲线 交于两点 .

的方程为 为参数,且 ,由 两根为 .

下面,可用根与系数关系和向量运算进行等价转化:   对于任意的 恒成立.又因为 ,所以问题转化为: 恒成立,即 .本题以存在性问题的面目呈现,涉及到恒成立条件下不等式参数的取值范围,立意新,内容丰富,综合性强,极富思考性和挑战性,有效地考查了学生的应变能力和知识迁移能力.

类型5  几何证明

平面图形有着丰富的几何背景,但有时用纯几何的演绎推理比较困难,而建立坐标系,把这些图形(点、直线、曲线、平面区域等)与数式(坐标、方程和不等式等)运算和性质对应,会优化思维产生妙解.

7全国Ⅱ卷,理21己知斜率为1的直线 与双曲线 相交于 两点,且 的中点为

(Ⅰ)求 的离心率;

(Ⅱ)设 的右顶点为 ,右焦点为 ,证明:过 三点的圆与 轴相切.

评析(Ⅰ)知 ,双曲线 的方程可表示为: .为简化运算,不妨设 依据已知条件 几何特征,联想到两点间距离公式,可得: ,解得

方法一:用弦长公式解得: ,通过充分挖掘 的内部几何属性,可发现 , .因此,以点 为圆心, 为半径的圆经过 三点,且在点 处与 轴相切.

方法二:通过对图形的仔细观察和分析,可判断出:“经过 三点的圆必在点 处与 轴相切”.因此,只要证 ,既证 ,就可以将复杂繁琐的证明和运算变得富有趣味,充满活力.

上述两种处理方式既有化繁为简的功效,又能很好地揭示知识间的内在联系,体现了数学的整体性.

四、变化与创新

1、突出知识的综合运用

解析几何是沟通代数与几何的桥梁,综合性强是它的基本特点之一.

8全国Ⅰ卷,理11))已知圆 的半径为1 为该圆的两条切线, 为俩切点,那么 的最小值为(D

(A)      (B)

(C)     (D)

评析本题可设 构造函数,利用平面向量数量积公式,导数或平均值定理等知识求出最值.这是一道向量与平面几何最值结合,立意新、角度好的试题.

2、加大探索性问题研究

今年全国各地新课程卷的解析几何试题中,加大了对探性问题的考查力度,符合社会进步和学生发展的时代要求.

性试题常见的有两类:一类是根据题设条件中的特殊关系,进行观察、比较、分析,概括出一般规律并论证其正确性.另一类是论证在一定条件下是否出现某个结论,常用“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述.教学中,必须采用研究性学习方式来应对此类问题,引导学生了解数学概念和结论产生的过程,理解直观和严谨的关系,经历数学研究的过程;指导学生学会观察、分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求恰当的数学结论或规律并给出解释或证明;培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,提高他们发现、提出、解决数学问题的能力,发展其创新意识和实践能力.从而使学生体验创造的乐趣,养成严谨的科学态度和锲而不舍的探究精神.

五、复习建议

1、培养学生研读数学材料的习惯,提高阅读能力

数学不仅是思维的体操,而且是实际应用的工具.例如,湖南卷(理)19题,是包含250多个字符,信息量较大,集解几、方程、不等式和数列等知识于一体的实际应用题.实际背景公平,考查了学生运用解析几何知识解决问题的意识和能力,是一道体现新课标精神,拓宽了高考命题空间的好题.但是,考生的答卷表明,部分学生不懂得从实际生活和生产中的自然语言表达到数学符号和图形语言表达的转换,不能迅速准确地抓住很多应用问题的数学要点.因此,教学中要充分发挥数学课本的引领作用,让学生养成研读数学材料的习惯,提高学生对描述数学知识相关文字的感悟能力和解读能力,着意加强有数学应用背景的数学知识.

解析几何试题讲究用语准确、规范、严密、精炼、简明、干净整洁,并有一定逻辑性,它在提高人的思维能力方面有着独特的作用.因此,教学中应该指导学生养成用自然语言、数学语言描述数学对象的习惯,让学生学会用“文字、图形、符号”三种不同语言表达、说明和交流,这也是数学教学的重要任务之一.

几何“识图、作图”是数学阅读的主要内容之一,也是多数学生的薄弱环节.例如,今年上海(理)23题考查了学生作图能力,再次给我们敲醒了警钟.“图”在解析几何试题的解决中发挥着很重要的作用,它可以帮助学生确定恒等变换的方向.因此,教学时一定要求学生将圆锥曲线的“基本图形”勤画、画美、画标准,并在学习的各个环节中贯穿始终.要引导学生学会用图形刻画和描述问题,学会用图形寻求解决问题的突破口和思路,学会用图形来理解、记忆和认识数学的结果以及这些结果的意义,逐步养成“作图、识图、用图”的思维品质和习惯,提高几何直观、几何洞察和正确辨析图形等能力,促进“数形结合”思想的逐步形成.

2、重视思维方式的优化,拓广方法,提高综合解题能力

庞加莱说过:“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美,这并非华而不实的作风”.解题过程中,要掌握“通性通法”,但也要注意基本技巧、技能训练,培养学生的优化思维习惯,鼓励学生追求合理、优美的解法,讲究合情推理和简洁的运算,否则,在考场上是难以获胜的.注意到解析几何问题更加富有变化的特点和近几年的命题趋势,教学中,要指导学生掌握一般地逻辑思考方式(如类比、推广、特殊化、一般化等)和综合思维方法(如分析与综合、逆向思维等).

解析几何的思想方法包括两个方面:一是几何图形的性质和问题所蕴含的代数意义,二是用代数方法来讨论和解决几何问题.教学中,要教会学生使用解析几何的思想方法来研究几何问题,掌握一般地思维过程:①用代数语言描述几何图形.如用数对表示点,用代数式表示距离,用方程表示直线和曲线等;②把几何问题转化为代数问题.如,两直线平行可转化为两直线的方程组无解,直线与圆锥曲线的位置关系可转化为直线与圆锥曲线的方程组解的讨论等;③求解代数问题;④理解所求代数结果的几何意义,从而解决相关的几何问题.

3、多措并举,提高学生的运算求解能力

通过今年的高考阅卷过程,再次证明运算求解能力是数学学习的核心能力,特别是对含字母式子的组合与分解变形能力,对参加纸笔测验的高考考生的数学成绩有较大影响.因此,教学中应该不惜花费较多的时间,下足够大的力气,采取多种措施培养学生的运算求解能力:①加强基础题型训练,使学生清晰地理解记忆基本公式、掌握基本技能和方法,力求达到规范、准确、熟练、快捷的程度,获取基本的数学活动经验,提高解题速度;②清楚“算理”,锻炼逻辑推理能力.使学生既知道“怎样算”,又明确“为什么这样算”,保证计算的合理性和正确性,提高解题准确度;③学会“检验”和归纳总结,可以参照数学大师波利亚的“怎样解题表,掌握题后检验策略和反思技巧,落实好归纳总结过程,切实解决“会且对”“对且全”的问题,提高解题的效度(例如,天津卷(理)20第(Ⅱ)需要考虑直线 的斜率 两种情况,否则会导致漏解).

总之,为全面提高教学质量,需要教师重新审视解析几何复习课的地位和功能,在实践中构建符合新课改理念的新的复习模式,从而提高学生成绩.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

作者简介:王发成19637月出生,河北省衡水冀州市人,研究生学历,现任石家庄市第八十一中学教学副校长,河北师大硕士研究生指导教师和数信学院教学指导教师.国家数学奥林匹克高级教练员,河北省劳动模范、河北省首届名师、中学数学特级教师.石家庄市市管专业技术拔尖人才,市政协委员.长安区人大代表、常委.近年来,公开发表论文50余篇,主编或参与编写的中学教学指导用书20余部.

 

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