（2017·南京）折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
简析：如下图示，
由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，得到：PB=PC，PB=CB，所以PB=PC=CB，
因此△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
简析：观察动态图，如下图示：
先绕B点旋转得到△P1BC1，再以B为位似中心，进行放大使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2.
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
解析：根据矩形长、宽和正三角形的边长不同，可分下列三种情形，其中特殊情况如下图示：
情形1 如下图
情形2
情形3
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．
解析：观察动态演示（自动演示）
注意：动画演示的是直角边长变化但保持两直角边的比（为1：4）不变，正方形的边长不变时，所得到的直角三角形的边长最大值，反之，当直角三角形的边长不变时，就是正方形的边长的最小值。——这个结论也可从前面的解题得到的相关结论中得到启发
即当直角三角形的三个顶点落在边上时，所需正方形铁片的边长最小。如下图示，
再由勾股定理，得：(4x)2+(4y)2=42,
所以(3y)2+(4y)2=42，解得y＝4/5（负值舍去），得到4y＝16/5.
反思，此题操作性强，思维量大，同时融入动态变化、分类讨论，旋转、相似等相关知识，需耐心细致地画出相应的图形才能准确得到相应的答案。
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