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【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(4)(45度与正方形)


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说明本系列的试题难度不大,但综合性均较强,尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用,同时本系列试题多数适合于中考中的中档题,阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.

试题已知,正方形ABCD中,点M点在边BC上,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.

(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转时,判断AH与AB的数量关系?并说明理由;

(2)如图②,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

图文解析

(1)

      所以△ANM‘≌△ANM,且MNM‘N,从而S△AN M‘=S△ANM.

       又AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,所以AB=AH.

      (上述是通过面积公式得到)

       当然也可经过再一次全等(ADN≌△AHN)或者利用“角平分线的性质”得到AH=AD=AB.如下图示:





拓展将原试题中的“点M在边BC上”改为“点M在边BC(或CB)的延长线上”,AB=AH,仍成立吗?为什么?

解析如下图示,结论仍然成立.

实际上,还能得到:

      当点M在边BC上时,MN=BM+DN,当点M在边BC的延长线上时,MN=BM-DN,当点M在边CB的延长线上时,MN=DN-BM.

(2)如下图示,

      本题解法非常多(至少有十五种以上,但多数方法用相似或三角函数或构造辅助圆),有兴趣的朋友可以到本人的云课(优思数学网:文章后面有详细地址)中的“一线三等角的相关变式应用(45度的角相关)“视频讲解.本文就从第(1)题的结论出发,进行解析,注意体会图形的演化与构成:

         先观察图形的演变:

因此,可以可还原成原图求解:

      还原1:

显然可以勾股定理,求得:

即(x-2)2+(x-3)2=(2+3)2

解得x1=6,x2=-1(舍去).

还原2(变式的还原)

其他解法(这里不再叙述).

拓展


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来自:悠悠昭阳客  > 几何动态
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