对数学的思考

谈过了文字，接下来，我想描述一些我对数学的一些看法。

从一开始，数字其实并不存在我们这个世界。这显而易见，毕竟数字是由我们人类创造的。物质存在数量，所以我们必须要有一个东西去描述这个数量关系。从自身角度：一个鼻子，两只眼睛，十根手指……从自然角度，一条小溪，几块石头，几只牛羊，几座山……世界存在数量，而我们需要对其描绘，于是就产生了数字。

如果世界上所有物质唯一，那么定然是无所谓“几”的。所以数字的诞生与物质存在数量有密不可分的关系。

作为生活在三维世界里的我们，自然不满足于数量，我们还要描绘距离，描绘一个物体到另一个物体的距离。对于物体与物体之间的关系，距离是最基本、最浅显、最直观的。代表数量的方式很多，比如一开始的堆石子个数，手指数数，在石头上画痕迹……

但是距离用什么来代表呢？在古时候，我们用脚的步数来代替距离：百步穿杨，步：古代的一步指行走时两脚之间距离的两倍，约相当于旧制五尺。而后的周制，寸、尺、咫、寻、常、仞诸度量，皆以人之体为法。长度单位从古至今的不断演化，工具的发展，以及对长度单位的规定逐渐精确，以至于我们能够对事物进行准确描绘。

总的来说，我们学着用数字来代替了距离，而单位是从较为日常的步数，即与人相关的各个距离开始（步长，臂长……）。

但因每个人的步长并不均匀相等，故而相互之间各自约定俗成一个公理，取了一个统一的长度单位，我自称其为“母尺”。然后其他人按照母尺的单位划分比对过去，达到传递，这样大家都确定了一个方便说明的长度。

1、因为地域的关系，并不是所有地方都对准一个“母尺”，所以西方的英寸和我们这里的寸又不同。

2、因为时间的关系，“母尺”的长度在传递过程中丧失精度，所以古时候并不能保持一个固定的长度。

3、因为文字的关系，单单是一个单位“寸”，在不同时期代表的长度也不同，这就和文字有关了，不同时期赋予了这个字不同的含义替代。

归根究底长度仍然是数量，而面积和体积其实也是数量。

只不过长度上的数量在于单位长度，而面积是单位面积，体积是单位体积。换一个角度，正因为不管是长度、面积、体积都是数量，以至于数字都能对其进行表示，而差别在于单位的阶不同（m，m^2，m^3，暂以米为基本单位）。

在数单位的过程中，我们逐渐诞生了许多运算法则。

长度是加法，面积是乘法，体积是两次乘法。

还是上面这个例子：

问题一：1+2+3=6，加法其实就是几个相似的物体放在你面前进行累加。对于长度来说，一个线段中如图，只是把单位长度摆在了一起，提高了你数个数的速度。如果多个单位长度东一块，西一块，你要对其描述长度，那自然是自找麻烦，所以需要单位长度的拼接。描述：长度为6。那么你就知道这是由6个单位长度组成的长度。加法就是一种并排的数个数方法。

问题二：为什么3*4=12，你会发现其实你也讲不出原理。硬要讲的话，不过也是画一个3*4的长方体，高三个格子，宽四个格子。可以看成共3行，每行4个格子，4+4+4=12；可以看成共4列，每列共3个盒子，3+3+3+3=12；验证数一下，发现有12个格子。而乘法，就是一个将平面简化呈直线，再通过直线进行加法的方法。

问题三：再比如3*4*3=36。同理，数格子。三层都放下来，由立体变成平面，再由平面化为直线相加。

上图所示，是对第三个体积的立体图形的另一种描述，

第一个最上面的1个结点，就是这个立体图形。

第二层的3个结点就是将图形分成三层。

第三层的9个结点就是将图形每一层的个数分成3行。

第四层的36个结点就是将图形每一行的个数分为4列。

由此我们已经将这个立体图得到共4*3*3=36的结果。

所以我们的计算不过就是在数个数罢了，只不过用不同的方式加快了对数的统计速度，对数的累计方法进行了一个总结。

这些都是我们小学的时候，背下来的最基本的加快统计的公式。初中、高中、大学中学习的数学也最终逃不过这个原理。我们积累了许许多多加快统计数的方法，提高了我们运算的速度，降低了思维的复杂性，每一次计算不用再重新推导底层。

当然，对于一开始学习数学的人来说，这样的认识应该是容易得到的，而深入学习数学之后，这样的认识渐渐变得不值一提。其实这也是我们对事物进行总结的一个好处，跳过繁琐重复劳作的过程，快速获取与计算信息。不过我们也应该要在不急的时候回过头看看本质。（其实我们有太多东西都是通过“经验”直接跳过了很多细节的地方，这里就以数学举了个例子。）

上面这个是在计算方法（+-*/）上提高了速度，下面这个是在说数字替换上。

实际上我们在做题的时候，也经常以常量a、b来代替具体的数值。这个时候的a^2，ab，并不一定是面积，具体还得看题目描述。我们常常用a、b这样的符号，来替代数字进行计算。这就像一个模板，提供一套方法，让具体的数值带入到符号中仍能成立。这也是我们普通编程的最基本思想，给定数值，通过方法，获得结果。（机器学习与这太不同）

当数学发展到一定程度，我们抽象的思维自然不可能只停留在可数阶段。我们逐渐上升到对极大（正负无穷）与极小（微元法）的思考。这个时候已经无法单纯的数个数了，因为没有东西展现在你面前给你数。你只能通过计算方法和数字替换，发挥自己的想象，假设他是无穷大或无穷小，其实是对计算方法的再一次总结。当你将问题考虑到无穷大时，优点在于无论你现实中的数字多大，那都能灵活的涵盖其中。

谈谈数形结合。

我们常常在学数学的时候讲究数形结合。当数学符号难以描述一种状态之后，我们就开始借用简单的图形来解释抽象。

对于数学题，为什么数形结合会让题目更容易做？

眼睛作为人的一个重要的输入器官，除了休息睡觉，我们几乎都非常依赖这个有效的输入方式。又因为我们活的世界是由千千万万个图形与结构构成，这些与我们生活所息息相关的物质才是最令人信服的。这一点还是因为数字终究是抽象的，正如我第一篇文章所写的那样，数字终究是人们赋予的一个记号罢了。

而图形普遍更加直观，是将抽象的思维在空间中展开，将复杂的现实世界以一种极其简单的结构呈现。比如说我们研究长方体，一个四四方方的箱子就是一个长方体。当我们要研究长方体的性质的时候，自然是更在意长方体这样一个结构。但箱子往往会有很多额外的元素，比如箱子的材质、颜色。图形是物体形状的简化版，但正如这种将需要考虑的部分提取出来，其他多余部分忽略，也更让图形更加易于接受信息。

还有一个例子是，你跟你和不认识数字的小孩说12厘米长还是21厘米长的时候，可能分不清楚，但是你给他一个实际的两个东西时，一般都能直接说出那个更长。

其次数字是不可以变形的，是静态的，而图形是可以动的，灵活的。作为记号，其外观发生变化，可能代表的东西就不一样了，典型如数字6和数字9。比如你把6这个数字旋转一个90度，你需要在大脑中将6倒转圈在下面，才能看出是6，而圈在上面就是9。那长方形呢，不管怎么旋转，我们依旧可以把它视作长方形。

其实很多看似不能在现实生活中出现的数字，都能以图像的方式展现。负数其实很好理解，数轴的负半轴，我欠你2块钱，对我来说就可以是-2。那复数呢？1+2i这个如何表示，其实也很简单，1个单位的x轴和2个单位的y轴拼接起来。其实还有别的例子，一时间想不起来了。

我们的大脑像是一个DIY宇宙，我们能在里面刻画许多东西。他的可想象空间似乎是无限，但应该与我们的想象力有关。若想象的越宏大，那描绘的形态就越模糊；反之越细小就越清晰。大脑的描绘能力可以打破我们这个物质世界的局限。我们可以构建一个极其简练的物体结构，然后以不同的角度，可以肆无忌惮的环顾这个结构，随意观察。可当自身不再描绘这个物体之后，他就会渐渐模糊消失。所以我们会选择在纸上去记录下我们所想象的物体的一个角度，以便于我们重新想起，之前在大脑中描绘的图像。

这似乎是我们人类解决问题时的一个优势。

这篇文章，其实可有可无，但其中重要的想法如下：

第一点在于世界上各种类型的物体其数量都不是唯一的。这一点其实是世界上最重要的一件事，不论你套用到哪个问题里面，数量永远都会影响到那个问题。

第二点讲的是我们数学、计算机的发展其源于计算方法的一步步总结，总结道一定程度，会丢失之前的基本定义，俗称公式拿过来用，能算出答案就可以了。

第三点是善于用图形来理解，数形结合！