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2018高考数学100弹之第84弹:回归教材之导数


       这是一个卖辅导材料的发过来的,高考总共23道题,他居然有30道题,虽然是可能考的,那也很诱人呀,没敢问价钱,估计价格不菲.我考虑众筹把这个材料买了,有购买意愿的私信我,高考数学考148不是梦!


       1.因为极限在现行教材被删除了,所以大家对导数定义理解不够彻底,高考对导数定义考查很少,但是大家还是有必要把函数平均变化率以及瞬时变化率搞明白.

       习题中的匀变速运动的位移s=v0t+at2/2的导数为s'=v0+at;探索与研究中的圆的面积S关于r的函数S=πr2的导数为周长C=2πr(圆就好像一盘没有打开的蚊香,是一圈一圈围出来的);球的体积V关于r的函数V=4πr3/3的导数为表面积S=4πr2(球就好像一个洋葱,一层一层包出来的),以上这些都从数学实际应用以及物理上对导数定义进行了形象的阐述.

       2.导数的几何意义中,要把切线的含义搞透,不要停留在初中对圆的切线、抛物线的切线那个认识层面(误以为曲线的切线除了切点外都在曲线的一侧),要了解切线是割线的极限位置;

       函数f(x)在点(x0,f(x0))处如果存在导数f'(x0),则其在该点处的的切线方程为:

y=f'(x0)(x-x0)+ f(x0).

      上述方程一定要牢牢把握.

       教材上的两道习题:

       (1)求抛物线y=x2/4在点(-2,1)的切线方程;(注:(-2,1)是切点)

       (2)求抛物线y=x2/4点(4,7/4)的切线方程.(注:(4,7/4)不是切点,那个'”字是关键,即使这个点在曲线上,它也未必是切点,只不过这儿是抛物线,所以如果点在曲线上只能是切点).

       3.理科同学对复合函数f(ax+b)求导的法则要熟悉,书后有相应的习题,可以再去做做;

       文科同学要注意如果出现类似y=e-x、y=ln(2x)、y=sin2x这样的函数的求导,不要大意了,一定要将其化成y=(1/e)x、y=ln2+lnx、y=2sinxcosx来求导,当然如果你也懂复合函数求导法则那就不用了.

       4.因为我们高中学习的函数的单调性是严格单调,常函数不是单调函数.所以教材是这么介绍增区间的:

       如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的增区间.

       反过来未必准确,比如f(x)=x3在R上为增函数,但是f'(0)=0,所以我们求增区间一般都是解不等式f'(x)≥0,但是这个等于0我们最好单独挑出来解释一下,防止出现恒等于0的情况(虽然很少发生).

       5.极值中要注意两个问题:

       (1)f(x)在x=a处取得极值,有可能f'(a)≠0,比如f(x)=|x|,其在x=0处取得极值,但是f'(0)不存在.

       当然我们研究极值一般都是对可导函数来说的,上述问题很少出现,但是你得知道这件事.

       (2)可导函数f(x)若满足f'(a)=0,f(a)也未必是极值,还是上述例子,比如f(x)=x3满足f'(0)=0,但是f(0)不是其极值.

       所以求可导函数的极值的时候,求完导不要去解导数等于零这个方程,而要去解导数大于零或者小于零这个不等式.

       6.导数的实际应用的例题要好好看看.

       7.(理科)定积分目前在高考的考查上还是属于简单中等题,搞清楚其几何意义,会计算即可.

       教材上有道例题介绍了弹簧拉长所做的功的问题,这个结论在物理上介绍过,但是没有给出证明,希望大家好好看看,看懂了这个,其实定积分的原理也就明白的差不多了.

       习题中的求曲线y=x2与y=-x2+2所围成图形的面积.如下左图,我们知道是用蓝色的在[-1,1]定积分减去红色的在[-1,1]的定积分,但是如果将两个函数同时平移相同的单位如右图,我们由平移原理知道肯定还是用蓝色的减去红色的求定积分,如果你能从右图中分析出来这个结论,那么你就对定积分的几何意义掌握透彻了.




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