高中数学：利用奇偶函数独特的性质解题

奇偶函数有许多独特的性质，在解题时，若能准确抓住这一特点，往往可以巧妙解题。

一、奇偶函数的定义域必关于原点对称

例1. 已知

是偶函数，且定义域为

，求a、b、c的值。

解：由f(x)为偶函数，得定义域关于原点对称，有

，解得

。

又f(x)为偶函数，知

恒成立，易得

。

注：一般地

为多项式函数时，若f(x)为奇函数，则x的偶次项为零；若f(x)为偶函数，则x的奇次项为零。

 

二、若f(x)为偶函数，则

例2. 已知

是定义在（-1，1）上的偶函数，且在

上为增函数，若

，试求m的取值范围。

解：已知

，由

为偶函数，即有

。又因在

上为增函数，故有：

解得

或

，即m的取值范围是（

，2）

（2，

）。

注：一般地利用偶函数的这一性质在解函数不等式时，往往可以避免复杂的分类讨论，使问题更容易解决。

 

三、若奇函数

在x=0有定义，则

例3. 实数m为何值时，

为奇函数。

解：因函数为奇函数且定义域为R，则

，即

，解得

注：一般地对于含参数的奇函数在求参数时，往往利用

或

；而对于含参数的偶函数在求参数时，往往利用

，比直接应用

要简单得多。

 

四、若

为奇函数，则

例4. 已知函数

，若

，则

的值为（    ）。

A. n

B. –n 

C. 

D. 

解：对于定义域内的x有

，

故由奇函数定义，知

为奇函数，则有

。故选B。

注：一般地对于一个函数，若能判断出奇偶性，再利用奇偶函数的性质解题往往可达到事半功倍的效果。同时对于函数的奇偶性，应注意自变量的对称性与函数值的对应性，把握住这些特征，可以巧妙解题。

▍ 来源：基于课本内容与网络信息整合