三分归一，你知道吗？指数、对数和幂函数本自同根生！

数涵道理总堪寻，道通功成浅亦深！大家好，我是麒麟子，我和我的数学故事都还在路上！

本期数学故事

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学 ，数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过对符号运算、形式推理、模型构建等,理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律 。

但是抽象的数学背后，也不乏有趣的数学故事，不乏有让人忍不住去探索、去联想的数学知识。当你用心去感受，去靠近，你心中的那些枯燥感和疲惫感就会逐渐消散！

今天给大家分享的数学故事是“指数、对数以及求幂运算”之间的微妙联系。你们知道吗，这三个看似不同的数学概念之间其实有着相同的本源，本期我就带着大家一起追溯这背后的根源！

本是同根生

大家在高一的时候学过三种函数，分别是指数函数、对数函数、幂函数。这三种函数的背后，其实就是建立在对应的数学运算之上的：

指数函数←→指数运算

对数函数←→对数运算

幂函数←→求幂运算

这三种运算是完全不同的，可能很多知道指数和对数之间是互为逆运算的，但这三种运算其实都来源于同一个载体，今天我们就来聊聊这个背后的载体！

最开始，我们有这样一个表达式，描述为“a的b次方等于c”，用数学表达式来写就是：

在这个表达式中，有三个参数：a,b,c。每个参数其实也代表了一个位置，而一个运算呢，一定会有一个运算结果，所以说运算结果本身就占据了一个位置，那就剩下两个位置了，这两个位置中，我们一般是让一个位置的数保持不变，另一个位置取不同的值，就会有不同的运算结果，比如，2²，2³，2⁷……c的位置就是运算结果的位置，a的位置的数保持2不变，b的位置取不同的值，这样的运算表征的就是指数运算！

现在我们进一步讨论，三个位置中我们可以选两个，剩下的那个位置放的就是运算结果。三个位置选两个一共有3种选法，选好之后我们让一个位置的数保持不变，另一个位置的数变动，这又有2种做法，综合起来一共就有6种结果，而我们讨论的“指数、对数和幂运算”就在这6种结果之中。

6种结果呈现

为了方便讨论，我们用y表示运算结果，x表示那个变动的值，a表示取值固定的那个数。我们来看看这6种结果分别是什么：

图1 六种结果呈现图

这张图完美了呈现了对于最开始给定的那个数学表达式，我们分别给对应的三个位置放不同的数，就会衍生出完全不同的结果。

在上图1 中，我们可以看到指数函数，对数函数，以及幂函数的身影，这也就是指数运算，对数运算和幂运算最开始的来历，是不是很有意思呢！

刨根问底

图1中出现了我们学过的三种函数，这没有问题，但是细心的同学还会发现：

1、幂函数出现了两次

2、最后两个函数并不属于我们学过的范畴

这种现象背后的原因其实是就需要我们了解函数变换的一些知识了。首先图1中幂函数出现了2次，这其实和幂运算本身的性质是有关系的：

再有就是关于图1中的最后两种的函数不属于我们学过的任何一种，其实如果你了解函数变换的话，你就会知道最后两种函数实际上就是由指数函数和对数函数经过相应的函数变换得到的。

那这种变换在函数图像上又是一种什么样的体现呢？我以指数函数y=2^x为例，给大家用图像的方式展现这种函数变换。

图2 指数函数图像的变换

正如上图2展示的那样，自变量从x变换到1/x，只需要通过图中的两个函数y=x和y=1/x进行即可，原始自变量x₁先通过函数y=1/x对应到y₁，然后y₁在通过函数y=x对应到x₃，最后只需要将指数函数x₁处的函数值对应到x₃的位置就可以。x₂到x₄的变换也是类似的，通过这种变换，就能将一个指数函数变为图1中的第5种函数的形式了。是不是很巧妙！

讨论完了指数函数和图1中的第5种函数，最后要说明的就是图1中的最后一种函数，它和对数函数又有什么关系呢？

所以说从对数函数到图1中的第6种函数，也是需要一个函数变换，这种函数变换是对函数值进行操作的，就是y变换到1/y，自变量保持不变。

那这种变换在函数图像上又是一种什么样的体现呢？我以对数函数y=log₂x为例，给大家用图像的方式展现这种函数变换。

图3 对数函数图像的变换

正如上图3展示的那样，自变量从y变换到1/y，只需要通过图中的两个函数y=x和y=1/x进行即可，原始函数值y₁先通过函数y=1/x对应到x₁，然后x₁再通过函数y=x对应到y₂，最后只需要将对数函数y₁处的自变量值对应到y₂的位置就可以。通过这种变换，就能将一个指数函数变为图1中的第5种函数的形式了。是不是很有意思呢！

三分归一

综上所述，我们就将图1中的6种情况就讨论完毕了，其实如果看到这里的话，你应该对“指数函数、对数函数吧、幂函数”有一个更加深入的了解了。它们都源于那个最原始的数学表达式！

图1中最后的两种函数虽然不属于指数和对数函数的范畴，但是却是可以通过指数和对数函数经过相应的函数变换得到的。

也许你当时在学习这三个函数的时候，是用一种完全割裂的方式学习的，并不觉得这三种函数有什么联系，但是你现在至少应该了解它们之前还有很多微妙的联系，其实数学的很多知识点都是这样，当你以为自己学懂了在某一个知识点，就觉得没啥信息量可以挖掘了，其实不然，换一个角度，也许会有惊喜出现哟！

一个那么简单的数学表达式，如果给那三个位置放不同的数，对应就有不同的运算和不同的函数。我们有时候讨论问题的侧重点不同，分析问题的角度也会有不同，即便是那样一个简约的表达式，当我们从不同的角度去观察的时候就会有不同的结果产生！

这就类似于你们学立体几何的时候，一个空间几何体你从不同的角度去观察就会得到不同的结果，这就是——三视图！这里给大家看一个小动图

这样一个特殊的几何体，如果你从不同的角度（正面、侧面。左面）去观察的话，就能得到三角形、矩形、圆。

这不就正好类似我们今天讲的内容吗，同样一个表达式，侧重点不同的话，就会有不同的运算和不同的函数。函数和几何都是如此，只要你的出发点不同，也许就会有不同的发现，在数学这片浩瀚的海洋中，有太多东西值得我们去发现！只要你愿意，你一定会在这片海洋中找到属于你的那颗金石！

总结时刻

我只是觉得，当你用心去感受数学，去理解数学的时候，你会发现数学中的美，那种美是隐藏在抽象之下的，需要我们用耐心和认真去发掘的。就像今天分享的内容，若不去深究，谁又知道看似关联度不大的三个函数却有着相同的本源呢？

总结——升华

如果把数学比作一个参天大树，我们学习数学的时候，最先触摸到的往往都是大树的叶子，随着我们不断去探索，我们会沿着树叶找到树枝，沿着树枝找到更大的枝干，一步一步，就会越来越来靠近树根！当我们通过一步步的努力触摸到数学的侧枝、主枝甚至主干，这本身就是一种成就，在这个过程中我们也会体会到那种数学之美！

我曾经看过一部东野圭吾的小说《嫌疑人x的献身》，里面有一句关于数学的话，我印象很深：

希望大家保持热情，保持好奇，在数学这趟看不见尽头的旅程中开心的驰骋下去吧！