数学教学应抓住“通性通法”能力培养

2007年09月21日　作者：韩际清　田明泉　　来源：中国教育新闻网－中国教育报

数学教学应抓住“通性通法”能力培养

 

——四省区高考数学试卷的对比与对高中数学教学的启示

 
　　海南、宁夏卷承前启后，凸显课改亮点

 

　　承前启后，实现平稳过渡。作为教育部考试中心命制的新课程卷，第一个明显的特点是试卷结构不变，仍然保持12个选择题，每小题5分，共60分；4道填空题，每小题4分，共16分；6道解答题，共74分。

　　海南、宁夏卷的第二个特点是考查的主干内容变化不大。许多传统的主干内容，如函数与导数、数列、三角函数、立体几何和解析几何等在试卷中仍占有较大比例。如文科第3题是根据三角函数解析式判断其图像形状；第6题是等比数列与抛物线的基本性质；第7题是解析几何抛物线定义；第9题是三角函数的基本变换；第11题是立体几何组合体的体积；第13题是解析几何双曲线的离心率计算；第14题是函数的奇偶性；第16题是等差数列的基本性质；第17题是正余弦定理的应用；第18题是立体几何的线面位置关系；第19题是利用导数研究函数的性质；第21题是解析几何与向量的综合应用等。另外，理科第12题是由1982年美国佛罗里达州的一道中学数学竞赛题改编而来，此题曾轰动一时。高考选用这个典型题目，重点考查学生的空间想象能力和等积变换的方法。这些题目所包含的知识与方法撑起试卷的骨架，学生熟悉，容易得到基本分。

　　五个体现，凸显课改亮点。新课程高考除了关注平稳过渡以外，还要确保新课改理念的适度体现。第一个体现是设置了系列4的选做题，第22题作为系列4的选做题，理科是三选二、文科是二选一，每小题10分。选做题难度适中，置于卷尾，减少对考生正常答卷的影响，为如何考查系列4的专题以及考查的形式和难度，提供了样板。

　　第二个体现是新增内容占有较大比例。如文科的第2题和理科第1题是简易逻辑用语；文理第5题是程序框图；文理第8题是利用三视图求几何体体积；文科第12题和理科第11题是统计中的标准差，可以估算也可以使用计算器；文理第15题是复数的简单运算；文科第20题是古典概型与几何概型；理科第20题是几何概型与二项分布等。在保证平稳过渡的同时，尽力展示课标中的新内容。

　　第三个体现是考试要求的变化。如文科第19题利用导数研究函数的性质，已不再局限于多项式函数，而是扩展到对数函数求导，考试要求明显提高。同时，我们还可以发现文理科的解析几何部分的考试要求明显降低了。

　　第四个体现是试卷中设置了相应的探究性和研究性问题。如文科第18题中第2小题是一个立体几何结论开放的探究题；文理科第19题中第2小题和第21题分别是一个解析几何条件开放的探究题，主要考查学生的探究意识和能力。再如文理科第17题是应用正余弦定理，解决和三角测量有关的研究性学习内容。

　　第五个体现是允许考生使用函数计算器。新课改在教学内容上的两个重大变化就是设置了选修系列和增加了大量现代教育技术与课程整合的内容，体现了新课程的选择性和现代意识。高考中允许考生使用计算器，对新课程的推进和中学教学改革会产生深远的影响。

　　可以看出，全国卷在反映课标理念方面效果明显，并有效地控制了难度，实现了新课程高考的平稳过渡。不足的是创新性的题型和题目几乎没有，并且文科卷第19题考查的复合函数求导，超出了“2007年全国新课程标准数学（文科）考试大纲”的要求。

　　广东卷体现“少考算、多考思”的命题思路

 

　　压缩总量，增加思维时间。从全国三套新课程试卷来比较，无论是试卷结构，还是试题的组成上，广东卷都散发着强烈的改革创新气息。如试卷结构采用理科选择题8道、填空题6道、解答题6道，共20题；文科选择题10道、填空题4道、解答题6道，共20题。与全国卷和山东卷相比，广东卷减少了选择题数量，压缩了总的题量，增加了学生的思考时间，体现了“少考算，多考想”的命题思路。

　　设置应用、探究和研究性问题。根据新课标、新考纲的要求，树立“三维目标”，培养学生的应用意识，鼓励和倡导开展探究性和研究性学习。广东试卷增加了对探究能力的考查，并且在试题的结构方面大胆创新，减少和淡化死记硬背的知识，加强应用性、探究性和研究性学习的考查，如文科第5题是利用图表来描述客车的运行情况，考查学生观察图表、数据分析的能力和应用意识；第7题是运用统计中的直方图和程序框图统计学生的身高，考查学生收集、分析和整理数据的能力，利用程序框图简约地表示解决问题的算法过程，把两个知识点巧妙地结合在一起；第8题是和取球有关的概率问题；第10题是有关配货的实际问题，此题本身不需要多少数学知识，只要具备一定的生活常识就可以理解和解答；第18题是探求某工厂提高产量与降低能耗两个变量之间线性回归方程的应用问题。今年广东文理科第18题的第2小题和第19题分别设置了一个解析几何条件开放的探究性问题，让学生自己根据已知条件，分析、探究结论是否成立，考查学生数学探究的方法和能力。

　　这些实际问题、探究问题，学生熟悉、背景公平、难度适中。在考查数学的应用意识、探究意识的同时，也体现了对数学“三维目标”的考查，对于正常开展研究性学习活动的学校和参加研究性学习的学生是非常有利的。

　　突出新课标新要求。如理科第12题是分别计算由一个凸多面体的顶点可以确定直线和异面直线的条数和对数的问题，考查学生的归纳推理能力，这属于课标及考纲的新增内容。另外，按照课标和考纲的要求，文科立体几何部分，缩减了考试范围，降低了考试要求，但是突出了对考生识图和画图能力的考查。文科第17题是立体几何解答题，要求根据某几何体已画出的俯视图，以及用文字描述的正视图（或称主视图）和侧视图（或称左视图）的图形形状，求该几何体的体积与侧面积。此题很好地反映了课标和考纲的这个变化，同时在问题的叙述中也兼顾了不同版本的教材对同一个概念的不同定义，不偏向任何一种教材，符合新课程“一标多本”的变化。

　　抓住本质，彰显学科特色。数学学习从某种意义上说就是数学语言的学习。数学语言包括符号语言、图形语言和文字语言，数学问题需要用数学语言来描述和理解。今年广东卷除了全面的考查学生的高中数学知识和方法之外，设计了大量的图表信息题，考查学生的数学图形语言。同时，也命制了许多应用问题，考查学生文字语言和其他数学语言之间的理解和转化能力，数学符号语言的理解和应用能力、抽象思维能力，要求考生具备较高的数学素养。当然，在中学阶段的数学学习要结合中学生的年龄特点以及生理和心理发展实际，按照课程标准和考试说明的要求，达到一定的考查目标。但是，在新课标和新考纲中，数列的递推关系已不作要求，因此，广东文科第20题和理科第21题考查数列递推关系的设计值得商榷。

 

　　山东卷平稳中求创新

 

　　保持稳定，考查主干知识。今年山东数学试卷努力实现2007年度高考平稳过渡，在稳定的基础上有所创新，基本上延续了前两年山东高考数学自主命题的风格，试卷长度、题型比例保持不变。全卷共22题，其中选择题12道，共60分；填空题4道，共16分；解答题6道，共74分，全卷合计150分。

　　今年山东数学试卷重点考查中学数学的主干知识和方法，侧重于中学数学的基础知识和基本方法的考查，如函数与导数、数列、三角函数、立体几何与解析几何等均占有较大分数。全卷没有偏题、怪题，学生比较容易上手。特别是选择题和填空题，运算量小、整体难度不大，重点考查中学数学的“双基”和通性通法。例如理科第1题是复数的基本运算；第4题是奇函数与幂函数的基本性质；第5题是三角函数的基本变换；第6题是常见的几个抽象函数与对应的初等函数的性质；第11题是向量的基本运算；第13题是关于解析几何中抛物线的定义；第14题是线性规划；第15题是直线与圆的位置关系；第17题是数列的基本性质与数列的错项求和；第19题是立体几何直棱柱中的线面位置关系与求二面角问题；第20题是有关三角函数的应用问题等。包括理科第21题和文科第22题虽然是压轴题，但仍然是老大纲和新课标中的重要典型内容“直线与椭圆的位置关系问题”，主要考查解析几何的思想方法以及学生运用解析法处理几何问题的能力，考查函数与方程的思想方法。由于从知识到方法学生都比较熟悉，得分率较高，其中文理科难度系数分别达到0.42和0.51。

　　降低难度，减轻学生负担。今年数学文理科试卷难度设计比较恰当，较去年明显降低。从抽样数据来看，普通理科12道选择题全部属于容易题，全卷容易题分值接近60%；文科12道选择题的容易题数量也占83%以上。今年全省抽样文理科平均分比去年分别高出约17分和16分，从贯彻执行新课改精神，减轻学生、教师和中学升学压力以及有利于高校招生的角度来看，适当地降低试题难度是一种切实可行的办法。

　　山东卷略感不足的是整份试卷“稳定有余，创新不足”，课标新增内容、探究性和创新性试题与其他两套试卷相比占分值太少，应用题人为编造的痕迹过强，理科第20题三角应用题给出的数据带根号等。

 

　　对高中数学教学的建议

 

　　整体来看，三套试卷都对高中数学主干内容进行了重点考查，并注意把握适当的难度，且占有较大的分数比例。三套试卷不同程度地体现了新课标的基本理念和要求，反映了新课程高考命题的取向，体现“高考支持课程改革”的命题思路。这也为我们的高中数学教学提供了思路。

　　坚持课改，把握课标。试卷中新课标新增教学内容占有较大比例。广东卷和海南、宁夏的解答题中，都至少有一道大题是新课标增加的内容。对选修系列4内容的考查，难度适中，文理科有所区别。由此可以明确地传递一个信息：新课标规定的课程，无论是必修还是选修、包括研究性学习课程，都要开齐上好。教学中，要改变“深挖教材、吃透教材”的传统做法，把注意力集中到课标和考纲上来，把教材作为辅助教学的一种素材。认真学习新课标（包括考试说明），特别是对变化的内容和要求更要细心地研讨，根据新课标的变化，调整和改变自己的教学理念、教学目标和教学方法。

　　打好基础，落实“双基”。试题的框架主体都是考查数学的基础知识和通性通法，如函数的单调性、奇偶性、周期性、零点、图像性质及变换；三角函数的基本性质与图像；向量的基本运算；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；数列的基本性质及应用；空间图形的识别及线面的位置关系（包括面积、体积和理科的夹角和距离）；古典概型的方法；统计的基本方法（包括散点图、直方图、回归直线方程）等。当然，“双基”也是与时俱进的。新的“双基”内容应该包括：一是和“图”有关的内容，如三视图、统计图、程序框图、函数的图象性质及变换、空间线面位置关系、平面直线与圆锥曲线的位置关系、数形结合的思想方法等；二是与“函数”有关的内容，如函数的性质及围绕研究函数性质的相关知识和方法、函数与方程的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法；三是数据的收集、整理、分析和应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题。

　　抓住通法，培养能力。重视中学数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生的“六种能力、一个意识”，即运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、实践能力和创新意识。能力的分类和要求与以前有所不同，必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“实践能力和创新意识”。另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重演绎推理，而“合情推理”也应引起我们的足够重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是我国现阶段所大力倡导的。

　　重视语言，提高素养。无论学生将来从事何种工作，经过基础教育阶段的数学学习，具备初步的数学语言理解、转化和表达能力是非常重要的。这是一个人具备一定的数学素养的基本标志，也是新课标的要求。因此，在日常教学中要重视对学生口头和书面表述（包括作图）能力的培养，以求达到数学语言运用的准确性、完整性和流畅性。

　　（本文作者及单位：韩际清山东省教研室教研员；田明泉山东师范大学附中数学组）

 

　　《中国教育报》2007年9月21日第5版