数学转化和化归思想的重复运用: 知其所以然, 知其所以不然

在很多数学问题中，一般通过一次转化和化归就能够圆满解决问题，但是在一些稍微复杂的数学问题中，一次转化和化归无法解决问题，需要重复运用两次以上，需要脑海里转过弯来。一些转化有其必然性，为什么是这样转化，而不是别的途径，就要知其所以然，知其所以不然。

来看一道初中的证明题：

我们就来分析解说一下，从而明白转化与化归思想的重复运用，以及知其所以然、知其所以不然。有些解说是为了便于大家由此及彼，举一反三，单纯做本题并不需要那么多想法。

证明角平分线的路：

1、定义：直接给出两个角相等就不用你证明了，一般是要证明角相等。

而证明角相等的路：

（1）角的运算：运用多边形内角和（三角形、四边形……）、内错角、对顶角、同位角等等。本题一看显然不可能。

（2）证明三角形全等。

所有可用的条件只有两点：①平行四边形ABCD，②AE=CF，条件不充分；

辅助线构建一下，由B向AE、CF作垂线BM、BN于M、N（逆向思维：角平分线判定定理），依然不充分，除了一条公共斜边，别的条件沾不上边，HL用不了，AAS、ASA、SAS都显然是用不了的。

（3）证明三角形相似：正弦定理，条件依然不充分。

2、判定定理：证明三角形全等，已经是用不了的，那就只能走别的路了。

充分挖掘已知条件、辅助线的关系：BM⊥AE、BN⊥CF，AE=CF，垂直是一种特殊的关系，能拿来干啥相等的事情？两对垂直线段怎么构建起相等关系？前面已经思考，角的运算沾不上边，全等、相似沾不上边了，那只能长度的运算咯！

运算嘛，通常无非加减乘除。

要证BM=BN，而知道的BM⊥AE、BN⊥CF，AE=CF，加减显然沾不上边，除显然也不可能，那么垂直这个关系怎么用就呼之欲出了：

证BM*AE=BN*CF

线段乘以线段是啥？面积！什么面积？显然是三角形！

于是证1/2BM*AE=1/2BN*CF，即证S△BAE=S△BCF，这两个三角形面积怎么联系起来？一看还有个大条件平行四边形ABCD没有使用的嘛！△BAE、△BCF都与平行四边形ABCD同底等高，一下就联系起来了。证明过程从这里反过去写就是了。

这里用到两次转化和化归思想：证角平分线（也就是角相等）利用判定定理转化为线段相等，证线段相等利用垂直关系转化为证面积相等。

注意一下转化的手段，垂直、平行关系等一些特殊的关系在转化和化归中有大用！除了最直接的连接，作垂线、平移等，从而分割、补形为等腰直角三角形、平行四边形等特殊基本图形。

当然脑海里思考的过程不需要这么多东西，大概思考就是：直接证角相等（三角形全等、相似构建不充分）不可能，只能用角平分线判定定理转化为证长度相等，而三角形全等构建不充分，只能通过垂直关系、长度运算（加减乘除，两线段垂直垂直显然只能是乘）转化为证面积相等。

当然上面讨论那么多是为了大家都能够明白和注意，其一、转化和化归思想可能不是用一次就一步到位了，可能重复用到；其二、知其所以然，知其所以不然：转化中为什么不能直接证角相等，不能用三角形全等（HL、AAS、ASA、SAS条件都是显然无法构建充分条件的）、相似（正弦定理的条件也不具备），所以通过垂直关系最终把长度转化到面积上的必然性是显而易见的。