单元质量评估(三)
(第三章)
备注：因数学题公式问题，部分内容截图参考，如需Word版本可以添加我微信
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( )
A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)
C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)
【解析】选C.f(a)f(b)0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.
【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
【解析】选C.在A中,函数无零点,在B和D中,函数有零点,但它们在零点两侧的函数值的符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以C中的函数能用二分法求其零点.
3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是 ( )
A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内
B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内
C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内
D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内
【解析】选C.23-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.
4.已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是 ( )
A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点
B.函数f(x)在(3,5)内无零点
C.函数f(x)在(2,5)内有零点
D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.
5.设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内( )
A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-40,
f(2)·f(3)
6.下列方程在区间(0,1)存在实数解的是 ( )
7.函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是 ( )
8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是 ( )
A.10%B.15%C.18%D.20%
【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.
9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是 ( )
【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.
10.若方程ax-x-a=0有两个解,则a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞)B.(0,1)
C.(0,+∞)D.∅
【解析】选A.画出y1=ax,y2=x+a的图象知a>1时成立.
【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则 ( )
A.k=0B.k>0C.0≤k
【解析】选D.在同一平面直角坐标系中画出y1=和y2=-k的图象:
由图象知,-k>0即k
11.若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是 ( )
12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是
( )
A.①②③B.①③C.②③D.①②
【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.
【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)
答案:(2,2.5)
14.已知函数f(x)
若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.
【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).
答案:[0,1)∪(2,+∞)
【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是.
【解析】函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,等价于方程k=|7x-1|有两个不等实根,
即函数y=|7x-1|的图象与y=k的图象有两个公共点,结合图象知0
答案:(0,1)
15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=.
【解题指南】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点所在的范围,然后结合零点的存在性定理来进行判断.
【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-10,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.
答案:2
16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)
【解析】f(1)·f(2)
答案:2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
-3.51
1.02
2.37
1.56
-0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f
18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.
(1)求f(x).
(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.
(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].
19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727)
【解析】设函数f(x)=2x+x-8,
则f(2)=22+2-8=-2
f(3)=23+3-8=3>0,
所以f(2)·f(3)
说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解.
用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.157
(2,2.5)
2.25
-0.993
(2.25,2.5)
2.375
-0.438
(2.375,2.5)
2.437 5
-0.145 5
由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),
x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).
因为|2.4375-2.5|=0.0625
所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.
20.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.
【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量.
21.在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.
22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间
公布票价
学生票
上车站
下车站
一等座
二等座
二等座
A
B
81(元)
68(元)
51(元)
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,
①当180≤x
学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:
y=51×180+68(x-180)+81(210-x),
即y=-13x+13950(180≤x
②当0
一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.
所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:
y=51x+81(210-x),
即y=-30x+17010(0
(3)由(2)小题知,
当180≤x
由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.
当0
由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.
所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.
