2010年中考数学压轴题100题精选（1-30）

2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）

【001】如图，已知抛物线 （a≠0）经过点 ，抛物线的顶点为 ，过 作射线 ．过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连结 ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点 从点 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 ．问当 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此时 的长．

x

y

M

C

D

P

Q

O

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【002】

A

C

B

P

Q

E

D

图16

如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP =      ，点Q到AC的距离是      ；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax²+bx过A、C两点.   

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

    (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【004】如图，已知直线 与直线 相交于点 分别交 轴于 两点．矩形 的顶点 分别在直线 上，顶点 都在 轴上，且点 与点 重合．

    （1）求 的面积；

（2）求矩形 的边 与 的长；

（3）若矩形 从原点出发，沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 关

的函数关系式，并写出相应的 的取值范围．

A

D

B

E

O

C

F

x

y

y

（G）

（第26题）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【005】如图1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点 作 交 于点 ． ， .

（1）求点 到 的距离；

（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作 交折线 于点 ，连结 ，设 .

①当点 在线段 上时（如图2）， 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若改变，请说明理由；

②当点 在线段 上时（如图3），是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.

A

D

E

B

F

C

图4（备用）

A

D

E

B

F

C

图5（备用）

A

D

E

B

F

C

图1

图2

A

D

E

B

F

C

P

N

M

图3

A

D

E

B

F

C

P

N

M

（第25题）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【006】如图13，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为 。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

    （1）求直线AC的解析式；

    （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

    （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

        

【008】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）       求证：BE=AD；

（2）       求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3）       △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．

（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图1，试证明：

① ；

② ．

（2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图2，则 与 还相等吗？试证明你的结论．

O

C

F

M

D

E

N

K

y

x

（第25题图1）

O

C

D

K

F

E

N

y

x

M

（第25题图2）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【010】如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于C点，且经过点 ，对称轴是直线 ，顶点是 ．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过 两点作直线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在这样的点 ，使以点 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线 与y轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；

（4）当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．

O

B

x

y

A

M

C

1

（第26题图）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2010年中考数学压轴题100题精选（11-20题）

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．      

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

F

B

A

D

C

E

G

第24题图①

D

F

B

A

C

E

第24题图③

F

B

A

D

C

E

G

第24题图②

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【012】如图，在平面直角坐标系 中，半径为1的圆的圆心 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 四点．抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，并延长 交圆 于 ，求 的长．

（3）过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，判断点 是否在抛物线上，说明理由．

 

O

x

y

N

C

D

E

F

B

M

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【013】如图，抛物线经过 三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作 轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 的面积最大，求出点D的坐标．

O

x

y

A

B

C

4

 

1

 

 

（第26题图）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在原点.现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中， 边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）.

（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；

(第26题)

O

A

B

C

M

N

（2）旋转过程中，当 和 平行时，求正方形

  旋转的度数；

（3）设 的周长为 ，在旋转正方形

的过程中， 值是否有变化？请证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0， )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 ．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点 ，求 的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积 与四边形OABD的面积S满足： ？若存在，求点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

y

x

O

C

D

B

A

3

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【017】如图，已知抛物线 经过 ， 两点，顶点为 ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将 绕点 顺时针旋转90°后，点 落到点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ，若点 在平移后的抛物线上，且满足 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标．

y

x

B

A

O

D

（第26题）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【018】如图，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于另一点 ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点 在第一象限的抛物线上，求点 关于直线 对称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 ，点 为抛物线上一点，且 ，求点 的坐标．

y

x

O

A

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由

(2)令 ，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝ ，Q为AE上一点且QF＝ ，抛物线y＝mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

 (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为         ，数量关系为         。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）

（3）若AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2010年中考数学压轴题100题精选（21-30题）

【021】如图，点P是双曲线 上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=  （0＜k₂＜|k₁|）于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=    ▲    (用含k₁、k₂的式子表示)；

（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记 ，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【023】如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形．

（1）求证：梯形 是等腰梯形；

（2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 与 的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点 、 运动到何处时，以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由．

A

D

C

B

P

M

Q

60°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【024】如图，已知 为直角三角形， ， ,点 、 在 轴上，点 坐标为（ ， ）（ ），线段 与 轴相交于点 ，以 （1，0）为顶点的抛物线过点 、 ．

（1）求点 的坐标（用 表示）；

（2）求抛物线的解析式；

   

   

（3）设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点，连结 并延长交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，试证明： 为定值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【025】如图12，直线 与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为 ，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与 的函数关系式并画出该函数的图象．

B

x

y

M

C

D

O

A

图12（1）

B

x

y

O

A

图12（2）

B

x

y

O

A

图12（3）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【026】如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH

（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个

单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B

重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯

形为DEFH′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，

请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠

部分的面积为y，求y与t的函数关系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【027】阅读材料：

         如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

     解答下列问题：

     如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及 ；

图12-2

x

C

O

y

A

B

D

1

1

(3)是否存在一点P，使S_△PAB= S_△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【028】如图，已知抛物线与 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与 轴交于点B(0，3)。

（1）       求抛物线的解析式；

（2）       设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）       △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【029】已知二次函数 。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为 ，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【030】如图，已知射线DE与 轴和 轴分别交于点 和点 ．动点 从点 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为 秒．

（1）请用含 的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

（2）以点C为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．

O

x

y

E

P

D

A

B

M

C

①当 与射线DE有公共点时，求 的取值范围；

②当 为等腰三角形时，求 的值．