中考数学复习7

七．函数及图象

一、总述

函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。

二、复习目标

1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标。

2、会从不同角度确定自变量的取值范围。

3、会用待定系数法求函数的解析式。

4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。

5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。

一次函数

三、知识要点

函

数

概

念

初等函数

图

像

性

质

综

合

运

用

二次函数

反比例函数

研究方法

定义

解析式

平面直角坐标系

点的坐标特征

 

 

 

 

 

 

 

 

(一)平面直角坐标系中，x轴上的点表示为(x，0)；y轴上的点表示为(0，y)；坐标轴上的点不属于任何象限。

(二)一次函数

解析式：y = kx + b(k、b是常数，k ≠0)，

当b = 0时，是正比例函数。

(1)当k ＞0时，y 随 x 的增大而增大；

(2)当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。

(三)二次函数

1、解析式：

(1)一般式：y = ax2 + bx + c (a≠0 );

(2)顶点式：y = a ( x – m ) 2+ n，顶点为(m , n);

(3)交点式：y = a (x – x1 ) ( x－x2 )，与x 轴两交点是(x₁,0)，(x₂,0)。

2、抛物线位置由a、b、c决定。

(1)a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上;a＜0开口向下。

(2)c决定抛物线与y轴交点的位置：

① c＞0图象与y轴交点在x轴上方；

② c＝0图象过原点；

③ c＜0图象与y轴交点在x轴下方。

(3)a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴 。

① a、b同号对称轴在y轴左侧；

② b = 0对称轴是y轴；

③ a、b异号对称轴在y轴右侧。

(4)顶点 。

(5)△= b2－4ac决定抛物线与 x 轴交点情况：

① △＞0抛物线与 x 轴有两个不同交点；

② △＝0抛物线与 x 轴有唯一的公共点；

③ △＜0抛物线与 x 轴无公共点。

(四)反比例函数

解析式： 。

(1)k＞0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；

(2)k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.

四、例题选讲

例1．为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度y cm与点燃时间 x 分钟之间的关系是一次函数，已知点燃6分钟后的长度为17.4 cm，21分钟后的长度为8.4 cm。

（1）求点燃10分钟后艾条的长度。

（2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。

解：（1）令 y=k·x+b，

当 x=6 时，y=17.4，当x=21时 y=8.4，则

6k+b=17.4

21k+b=8.4

解得

 

 

 

 

 

(2)艾条全部烧完，即y=0，

令 ，解得：x=35，

因此，点燃35分钟后艾条全部烧完。

例2．小明从斜坡O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是 ，斜坡的直线方程是 ，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）。

y

B

⑴网球落地时撞击斜坡的落点为A ，

A

求出A 点的垂直高度，以及A 点与O点的水平距离。

O

⑵求出网球所能达到的最高点的坐标。

x

分析: （1）∵A 点的垂直高度就是点A的纵坐标，

A 点与O点的水平距离就是点A的横坐标，而点A既在抛物线上又在直线上

 

 

 

∴只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。

（2）求最高点即抛物线顶点B的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标的公式即可求出。

解：(1)由方程组 解得A点坐标（7，3.5），求得A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。

 

例3若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数 的图像上,则

y

(A)y1>y2>y3   (B)y2>y1>y3   (C)y3>y1>y2   (D)y1>y3>y2

分析：∵函数 的图像在第二、四象限，

1

O

-1

x

y随着x的增大而增大，又第二象限的的函数

值大于第四象限的函数值

∴y₂>y₁>y₃，选(B)

 

例4.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米,

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆

x

隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为

多少米？

解:(1)设鸡场的面积为y米²,则宽为 米，

由题意得： ，

即 。

所以当x=25时，鸡场的面积最大。

由（1）（2）结果可得出：不论鸡场中间有几道墙，要使鸡场面积最大，它的总长等于篱笆总长的一半。

例5．

 

 

例6．某家电生产企业跟踪市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，

(4)根据图乙,自编一则新的“龟兔赛跑”的寓言故事，要求如下:

①用简洁的语言概括大意，不能超过200字；

②图中能确定的数值，在故事叙述中不能少于3个，且分别涉及时间、路程和速度。

分析：乌龟的运动路径是过点(0,0)、(35,200)的一条线段。

兔子的运动路径分三段：

1)端点为(0,0)、(5,200)的线段；

2)端点为(5,200)、(35,200)平行于横轴的线段；

3)端点为(35,200)、(40,300)的线段。

乌龟追上兔子处，从图中看，就是虚线和实线的交点。

解：(1)甲；

(2)

项目 线型	主人公 （龟或兔）	到达时间 （分）	最快速度 （米/分）	平均速度 （米/分）
实线	兔	40	40
虚线	龟	35

(3)①

    

②结合图像，由 ，解得 ，即乌龟用 分追上小兔，追及地距起点200米。

(4)例文：

    听到发令枪响，小兔迅速向前冲去，他用了5分多钟就跑出了150米，这时，他回头一看，发现乌龟才跑出50米就不动了，原来乌龟受伤了，小兔连忙跑回来，用5分钟时间为乌龟包扎好伤口，然后，扶着乌龟一起以10米/分的速度前进，又经过了25分钟，他们终于一起到达了300米的终点。

例6．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、…第n层，第n层的小正方体的个数记为s。解答下列问题：

（1）按照要求填表：

n	1	2	3	4	···
s	1	3	6		···

（2）写出当n=10时，s=_____；

（3）根据上表中的数据，把s作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。

s

（4）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。

·

·

·

O

·

n

 

 

 

 

解：(1)s=10；

(2)s=55；

(3)

 

 

 

，解之，得

    (4)经观察所描各点，它们在二次函数的图像上。设函数的解析式为S=an2+bn+c，由题意得：

a+b+c=1

4a+2b+c=3

9a+3b+c=6

 

 

 

 

 

    所以， .

 

例7．且冰箱至少生产60台，已知生产这些产品每台的需工时和每台产值如下表：

家电名称	空调器	彩电	冰箱
工时
产值（千克）	4	3	2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使生产之最高？最高产值是多少千元？

[分析]可设每周生产空调、彩电、冰箱分别为分别为x台、y台、z台。故有目标函数S=4x+3y+2z（即产值与家电的函数关系）。在目标函数中，由于4x+3y+2z中有三个未知数，故需消去两个未知数，得到一个一元函数，在确定这个变元的取值范围，从而可得出问题的解答。

[解]设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台。

由题意得：

由①②消去z得y=360-3x.

将⑤带入①得  x+(360-3x)+z=360，即z=2x.

∵  z≥60，  ∴x≥30.

将⑤⑥代如④得S=4x+3(360-3x)+2(2x)=-x+1080.

由条件⑦知，当x=30时，产值最大，且最大值为-30+1080=1050(千元)

将x=30代入⑤⑥得  y=360-90=270，z=2×30=60.

答：每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使生产值最大，最大生产值为1050千元。

点评：

例1是用待定系数法求一次函数的典型例子，所示不同的只是赋予了较新的背景材料，待定系数法是求函数解析式最常用的方法之一，用待定系数法解题的策略是有几个待定的系数就找几个方程构成方程组。

例2的关键是把实际问题转化为求两解析式交点的问题，以及如何求二次函数顶点的方法。

例3主要是数与形的转换，历为函数图像能直观地反映函数的各种性质。利用数形结合的思想，同学们可以开拓解题思路，设计更好的解题方案，以便迅速地找到解决问题的途径。

例4和例7是函数应用题，我们首先要从问题出发，利用量与量之间的内在联系，引进数学符号，建立函数关系式，再确定函数关系式中自变量的取值范围，利用函数性质，结合问题的实际意义，最后得出问题的解答。

例5是一道比较新颖的图像信息题，不仅考察同学们的数学知识，还要有同学们有一定的文学功底，解这类题首先要读懂图形，从图中获取信息，一个一个地将条件抽象成数量关系，最后一问同学们创设的情景一定要合乎常理。

例6通过请同学们观察三个立体图形，猜想探索发现规律，并把发现的规律一般化，最后用图像语言表述结果，命题经历了问题情景——建立模型——解释，应用拓展, 练习这样一个完整的解决数学问题的过程。

 

练习

①函数y=中自变量x的取值范围是________.

②点A(1,m)在函数y=2x的图像上,则点A关于y轴的对称的点的坐标是(_____).

③若点(-2,y₁),(-1,y₂),(1,y₃)都在反比例函数的图像上,问y₁,y₂,y₃间存在怎样的关系

(A)y₁>y₂>y₃    (B)y₂>y₁>y₃    (C)y₃>y₁>y₂    (D)y₁>y₃>y₂

④正比例函数y=kx和反比例函数的图像交于M,N两点,且M点的横坐标为-2.

(1)求两焦点坐标;

(2)如果函数y=kx和的图像无交点,求k的取值范围.

⑤设抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,2),B(2,-1)两点,且与y轴相交于点M.

(1)求b和c(用含a的代数式表示);

(2)求抛物线y=ax²-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标;

(3)在第(2)小题所求出的点中,由一个点也在抛物线y=ax²+bx+c上,是判断直线AM和x轴的位置关系,并说明理由.

为叙述方便,下面解题过程中,把抛物线y=ax²+bx+c叫做抛物线C₁, 把抛物线y=ax²-bx+c-1叫做抛物线C₂.

解:(1)∵抛物线C₁经过A(-1,2),B(2,-1)两点,

∴解得b=-a-1,c=1-2a.

  (2)由(1),得抛物线C₂的解析式是y=ax²+(a+1)x-2a.

根据题意,得ax²+(a+1)x-2a=x,

即  ax²+ax-2a=0  (※)

∵a是抛物线解析式的二项式系数,∴a≠0.

∴方程(※)的解是x₁=1,x₂=-2.

∴抛物线C₂上满足条件的点的坐标是P₁(1,1),P₂(-2,-2)

(3)由(1)得抛物线C₁的解析式是y=ax²-(a+1)x+1-2a.

  ①当P₁(1,1)在抛物线C₁上时,有a-(a+1)+1-2a=1.

解得

这时抛物线C₁得解析式是

它与y轴的交点是C(0,2).

∵点A(-1,2),C(0,2)两点的纵坐标相等,

∴直线AC平行于x轴.

②当P₂(-2,-2)在抛物线C₁上时,有4a+2(a+1)+1-2a=-2.

解得

这时抛物线C₁得解析式是

  它与y轴的交点是C(0,).

  显然A,C两点的纵坐标不相等,

  ∴直线AC与x轴相交.

综上所述, 当P₁(1,1)在抛物线C₁上时, 直线AC平行于x轴; 当P₂(-2,-2)在抛物线C₁上时, 直线AC与x轴相交.

小结：

应用函数知识解决实际问题的具体步骤：

(1)审清题意，找出影响问题解的关键变量——自变量，指出自变量的范围，并将其他相关变量用自变量表示；

(2)根据条件，建立变量间的函数关系式；

(3)利用函数性质，求出问题的答案。

另外，同学们在解决函数问题时，常常会用到待定系数法、化归与转化、数形结合等数学思想方法。