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不可思议的世界

第六章、简单问题的量子力学解 

目录

6.1 自由粒子  

6.2 一维无限深势阱  

6.3 一维有限深势阱  

6.4 一维简谐振子  

6.5 电子的能级  

6.6 势垒贯穿-量子隧道效应

6.1 自由粒子

     自由粒子的动量p是确定的,能量Ep2/(2m),也是确定的。

     根据德布罗意波的定义,自由粒子的波函数为

     这说明,自由粒子在整个x轴上存在的几率处处相同。因此,自由粒子是一种非常极端的状态,他的能量、动量精确地确定,而它的位置完全不确定的。它的粒子云均匀地充满整个时空。

6.2一维无限深势阱 

     考虑一根长为2a的细金属棒,其中电子可以沿金属杆(x方向)自由运动,但不能离开金属杆。于是,对电子来说,杆内的势能为0,没有外力,只有动能,而杆的两个端点势能则为无穷大,电子无法逾越。取杆的中心为坐标原点,可图形表示如下。

     上图的右半部给出了问题的方程和边界条件。该方程的求解并不难,因为它在数学形式上跟一维弦振动方程是一样的。经过简单的运算,我们获得的解如下:

     首先我们注意到,

1)一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。粒子的能量是量子化的,能量只能取一些分立的值,量子数n=1,2,3,…规定了各能级。

2)由于第n能级的能量和n的平方成正比,故随着量子数n的增大,能级的间隔越来越大。

3)最低能量,即基态(n=1)能量非零,这是一个经典力学里没有的现象(经典粒子最低能量为零)。

     另外,我们注意到,各能级的特征波函数都是一些驻波的形式。一般来说,第n能级的波函数具有n个波峰波谷。

零点能

     粒子的最低能量状态称为基态,就是n=1的状态,其能量为:

称为零点能。量子系统具有零点能,就必定存在零点运动。这一结果与经典物理学概念矛盾。

     实际上在量子世界零点能的出现也是测不准关系的必然结果。因为Δx≈2a,根据测不准关系,应有Δp≠0,从而p≠常数,从而p≠0

电子云

     下面右图给出了前三个能级的波函数公式,以及各能级波函数的图形。我们看到,各个能级的波函数都是驻波形式,且波长与能级量子数n成反比。

     波长=2L/n,其中L=2a是势阱的宽度。 

     下图给出了前三个能级的能级公式,以及各能级电子的概率分布。我们看到,电子在各驻波振幅最大的地方有更大的存在概率。图中的钟形也可以看作是电子云包络的形态。注意,在经典情形,电子在各处的概率是均等的。

退化为经典情形

6.3一维有限深势阱 

     有限深势阱与无限深势阱的不同只是边界外的势能不是无穷大,而是一个固定值V0。这相当于长2a的细金属棒,两端不再是绝缘的空气,而是连上了另一种金属杆,两种金属杆之间存在一个固定电位差。其中电子可以沿金属杆(x方向)自由运动。取杆的中心为坐标原点,可图形表示如下。

     上图右端给出了问题的方程和边界条件。在边界内,方程与无限深势阱的完全一致。边界外现在不是简单的0值了,而是也存在一个薛定谔方程,这个方程与势阱内的不同之处在于它多了一个常数势能项。

     该方程组的求解并不复杂,最终求得解的形式如下:

    利用边界内外两个解在边界处要满足值相等和导数的衔接条件,以及波函数在整个空间的积分为1的归一化条件,最终可获得上式中的常数。由此也就确定了能量E值。这里不象无限深势阱那样可以得到能量分立值的解析表达式,因为涉及超越方程,但利用图解法可以得到能量的值。结果和无限深势阱类似,这里的能量值仍旧是分立的。下图给出了有限深势阱问题解的能级和前三个能级波函数。为了对比,图中也绘出了无限深势阱的相应结果。

     从图中可见,有限深势阱的解与无限深势阱的解区别主要有两点:

1)有限深势阱的能级比无限深势阱的要低一些。

2)有限深势阱的波函数在边界外有一段延伸的非零值。

6.4一维简谐振子 

     在经典力学中,一个与固定弹簧相连的物体在其平衡位置附近的振动称为简谐振动,作这种运动的物体就是谐振子。在量子力学中,原子核内核子(质子或中子)的简谐振动、原子和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动等都属于一维谐振子问题。下面我们就来列出一维谐振子问题的薛定谔方程。

方程

     首先,一维量子谐振子的位势可表示为

解的形式

     经求解,获得一维谐振子的能级和波函数如下:

解的特点

1)简谐振荡中能量是量子化的。一维谐振子的能量只能取一系列分立值,并且相邻能级是等间距的,等于hω。 

    En=(n+½)hω,n=0,1,2,…。

     这正阐明了Planck能量子假设的物理根据。因为,任何做简谐振动的量子系统,它的能谱特征都是如此(绝对黑体空腔内的电磁场也不例外)。能谱的这种均匀间距特征和势场为x的平方形式密切相关。

2)具有0点能。当一维谐振子处于基态(n=0)时,其能量为

    E0=hω/2

这表明,即使当温度接近绝对零度时,谐振子仍然进行着零点振动,或者说静止的谐振子是不存在的。这一结论已被实验所证实。

    上图还给出了前八个能级的高度,以及相应的波函数形态。同时,图中也绘出了谐振子的势能曲线。

退化到经典物理情形

    下图是能级n=10情形的粒子概率密度分布。作为对比,图中还绘出了经典情形的概率密度(红色曲线)。我们发现,当量子

在激光中的应用

6.6势垒贯穿-量子隧道效应

     在原子核衰变过程会放射出α粒子变成另一种原子核。原子核表面有40MeV的势能,核内α粒子的能量约为4~9MeV,能量较小的α粒子怎么会穿过那么高的势垒从核内放射出来呢?因为在经典力学中,若粒子的能量E0<</span>势能V0,它不可能穿过势垒的。下面我们就用薛定谔方程来求解一下这个问题。

     如下图所示,I区的入射粒子能量为E0,势能为0,II区的势垒部分势能为V0,势垒外侧的III区势能也是0

对三个区,分别写出薛定谔方程如下:

    对方程求解,可以得到如下形式的解。从图中可见,尽管粒子的能量小于势能V0,但还是有一定的几率透过势垒。这就是势垒贯穿现象,在经典物理中不可能出现的现象,在量子物理中却成为现实。量子力学中,聊斋志异中劳山道士的故事已不再是神话。

用计算机模拟电子波包遇到位势垒而产生的反射和隧穿效应的结果

在扫瞄隧道显微镜上的应用

          (未完待续),遨游我心_健康,2013.09.26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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