费米子和玻色子的波函数

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长期以来，人们一直认为量子粒子可以分为两类：费米子或玻色子。这两类粒子的区别是任意一对粒子的交换对多粒子波函数的影响：对于费米子，波函数得到一个负号，而对于玻色子则没有。

费米子和玻色子的波函数有一些不同的公式。

对于费米子，其波函数可以表示为：

可以看出，费米子和玻色子的波函数都包含了一个振幅因子，但是它们的振幅因子的形式不同。费米子的振幅因子是一个正弦函数的和，而玻色子的振幅因子是一个连续函数的积分。此外，费米子的能量和自旋量子数都是整数倍的ℏ,而玻色子的能量和角动量量子数都是半整数倍的ℏ。

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后来人们明白，虽然这确实是三维或更多空间维度中唯一的两种可能性，但二维的情况允许将玻色子和费米子的概念被称为任意子。

从数学上讲，在（2+1）维时空中考虑任何一个子，把它们的交换看作是“辫子”。在它们中，粒子的世界线相互缠绕是有用的。一般来说，两个任意子的交换（即单个辫子的性能）可以产生0（玻色子）和π（费米子）之间的任何相位。

更引人注目的是，在某些情况下，经过一系列交换后获得的阶段可能取决于交换发生的顺序。除了它的基本科学重要性，这种任何子的“非交换”编织已经吸引了凝聚态物理和量子信息社区的极大兴趣，因为它可以作为鲁棒量子信息处理的基础。

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理论上预测任何子都会出现在物质的各种拓扑相中；例如，在分数量子霍尔系统9,10中，它们可以以去细化准粒子激发的形式存在，在拓扑超导体中，马约拉纳束缚态在域壁和涡等拓扑缺陷上成核。

在非相互作用系统中也提出了实现任意子的新机制，并讨论了作为开发用于光子应用的高磁导率材料的可能途径。尽管经过了几十年的努力和进步，大量的实验证据直到最近才出现，许多问题仍然存在。