1.3.2 奇偶性 第二课时 优化训练
1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是( )
A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数
解析：选B.f(－x)＝－x3为奇函数，
x1＜x2，－x1＞－x2.
f(－x1)－f(－x2)＝－x31－(－x32)＝x32－x31＞0，
∴f(－x1)＞f(－x2)，f(－x)为减函数．
2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得( )
A．a<b B．a>b
C．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0
解析：选C.对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则f(|x|)＝f(x)；若x<0，则f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)<f(b)，可得f(|a|)<f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在[0，＋∞)上是增函数可得|a|<|b|，故选C.
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
解析：选D.由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝x?x－2? ?x≥0?，x?－x－2? ?x＜0?，即f(x)＝x(|x|－2)．
4．函数f(x)＝x3＋ax，f(1)＝3，则f(－1)＝________.
解析：显然f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
答案：－3
1．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－10
解析：选D.令F(x)＝f(x)＋4＝ax3＋bx，显然F(x)＝ax3＋bx为奇函数，F(－2)＝f(－2)＋4＝6，F(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10.
2．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－32)与f(a2＋2a＋52)的大小关系是( )
A．f(－32)＞f(a2＋2a＋52)
B．f(－32)＜f(a2＋2a＋52)
C．f(－32)≥f(a2＋2a＋52)
D．f(－32)≤f(a2＋2a＋52)
解析：选C.a2＋2a＋52＝(a＋1)2＋32≥32，f(－32)＝f(32)≥f(a2＋2a＋52)．
3．若ρ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aρ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( )
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
解析：选C.ρ(x)、g(x)都是奇函数，
∴f(x)－2＝aρ(x)＋bg(x)为奇函数．
又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.
∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，
∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.
4．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( )
A．f(3)＋f(4)＞0 B．f(－3)－f(－2)＜0
C．f(－2)＋f(－5)＜5 D．f(4)－f(－1)＞0
解析：选D.f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有：－4＜－1?f(－4)＞f(－1)?f(4)－f(－1)＞0.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝( )
A．x2－|x|＋1 B．－x2＋|x|＋1
C．－x2－|x|－1 D．－x2－|x|＋1
解析：选D.设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x2＋|x|－1，
∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.
6．(2009年
高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f?x2?－f?x1?x2－x1<0，则( )
A．f(3)<f(－2)<f(1)
B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3)
D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析：选A.由已知f?x2?－f?x1?x2－x1<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.
7．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
解析：利用函数f(x)是偶函数，则k－1＝0，k＝1，f(x)＝－x2＋3即可得出单调区间．
答案：[0，＋∞)
8．若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是________．
解析：
偶函数的图象关于y轴对称，先作出f(x)的图象，如图所示，由图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}，
∴f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}．
答案：{x|0＜x＜2}
9．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)＞0，则a＋b________0(填“＞”、“＜”或“＝”)．
解析：f(a)＋f(b)＞0，∴f(a)＞－f(b)，
∴f(a)＞f(－b)，f(x)为减函数，
∴a＜－b，∴a＋b＜0.
答案：＜
10．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数．
∴f(0)＝0，即b1＋02＝0，∴b＝0，
又f(12)＝12a1＋14＝25，∴a＝1，
∴f(x)＝x1＋x2.
11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋14)2＋78＞0，
2a2－2a＋3＝2(a－12)2＋52＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，
即3a－2＞0，解得a＞23.
12．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝1x－1，求f(x)，g(x)．
解：由f(x)＋g(x)＝1x－1. ①
把x换成－x，得
f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
又∵g(x)为奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)－g(x)＝－1x＋1. ②
由①②得f(x)＝1x2－1，g(x)＝xx2－1.
来源：学习方法网
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