第29期为什么要旋转？

今

2016福田区二模第22题

如图，直线y=x+3分别交x轴，y轴于点D,C，点B在x轴上，OB=OC,过点B作直线m∥CD，点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠ POQ=45°.

（1）∠PBO=________°

（2）PB·CQ是否为定值？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由。

（3）求证：CQ2+PB2=PQ2.

解析：

此题第（1）（2）问易求，第（3）求证CQ2+PB2=PQ2.很容易联想到勾股定理的。只需要以CQ，PB,PQ为边长的三条线段构成直角三角形，则命题得证。而CQ，PB,PQ分别在不同的位置，考虑进行图形的变换。将CQ, PB,PQ中的一些线段变换到一起去，再说明所构成的三角形是直角三角形。

一一二十

我们到现在为止学过的图形变换有：平移，旋转，轴对称和位似。前三者属于全等变换，在平面到自身的变换下图形的形状大小不发生改变，只有位置发生改变，而位似变换多用于将图形进行放大缩小，所以这里不考虑。那么此题到底选用什么变换呢？

小明

旋转，此题以前做过，根据经验，OB=OC,可将△OCQ顺时针旋转90°，此时C与B重合，CQ’与BQ凑在了一起，且因为原来是平行的，旋转90°之后CQ’⊥BQ。

如图，连接P Q’，只需要证明PQ=PQ’就可以了。

这是这道题目的常规思路，旋转变换，再通过一次全等即可得到所要求证的结论，我在这里不是想说一题多解，其实考试的时候能想出一种解法就是完美的，我想说的是怎么去思考这个问题，如果凭经验能想到旋转的方法，很好。

我们也尝试理性地思考一下这个问题，图形变换中，平移变换在这里不作考虑，因为CQ与PB原本也是平行的，平移之后，可能会平行或共线，无法构成三角形。

能否考虑轴对称呢？

如图，作△OCQ关于OQ的对称图形△OC’Q,连接PC’，只需要说明PC’=PB,且△ PC’Q是直角三角形即可。

由轴对称的性质，△OCQ≌△O C’Q，∠1=∠2，由题意，∠ POQ=45°，

∠  2+∠  3=45°，则∠ 1+∠ 4=45°，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，

易得△POB≌△PC’B,则PB=PC’,且∠ P C’O= ∠O C’Q=135°，则∠P C’Q=90°，

在△P C’Q中，由勾股定理可得，C’Q2+P C’2=PQ2，则CQ2+PB2=PQ2.       

溯源

此题的原型是：如图，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°，记AM=x,MN=m,BN=y,猜想m,n,x,有何数量关系？请证明.

中考直击

(2012 宁德)如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）线段BC上取一点M，连接AM，若AD平分∠BAM.求证：AE平分∠MAC．

（2）当0°＜α＜90°时.求证：BD2+CE2=DE2．

（3）继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．