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天下难事必作于易，天下大事必作于细。身为基层一线教师，随着时间的推移和工作经验的积累越发感叹唯将工作做细做实，转变传统的教学观念，才能跟上时代的步伐。近期阅读多位大师的杰作，收获颇丰，不时有共鸣之处。丢失多年的写作习惯渐渐找回。本文欲通过一周左右的时间对“线段最值问题”进行梳理，可能对很多专家来说可能是一个老话题，中间也引用了不少同行如谈志国老师、段广猛老师等的想法和思路，在此一并表示感谢！由于能力有限，不当之处还请各位批评、指正！
一、知识依据
1.线段公理——两点之间，线段最短；
点P在直线l上，AP+BP何时最小？
2.垂线段最短；
点P在直线l上，AP何时最小？
3.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；
点A与点A’关于直线EF对称，聪明的你能找到图中相等的角和相等的线段吗？试试看！
4.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。（本质上也可以理解为两点之间线段最短！）
这几条依据是解决数线段类最值问题（函数类除外）的知识原点，我们在教学过程中力求引导学生化繁为简，以简驭繁，从混沌中寻找秩序，从经验中发现规律，构建模型，从感性土壤中开出理性之花.
好了！有了基本知识储备，那就让我们小试牛刀，尝试完成以下基本作图吧！
二、基本作图
1.在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
简析：连接AB交直线于点P，即为所求，知识依据为“两点之间，线段最短”.
（2）点A、B在直线同侧：
简析：作点A关于直线m的对称点A’，连接A’B与直线m的交点即为所求，由对称可得PA=PA’,PA+PB最小值即为PA’+PB最小，再根据“两点之间线段最短”即可解释.
（注：这就是传说中大名鼎鼎的“将军饮马模型”，后面将专门分析）
2.“将军饮马问题”变式：
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定（长度为d）,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
（1）点A、B在直线m两侧：
简析：过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d，连接BC交直线m于一点即为点Q，过点A作CQ的平行线交直线m于点P；因为线段PQ长度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小，由平行四边形性质可知PA=CQ，所以PA+QB就转化为CQ+QB的最小值，结合“两点之间线段最短”即可解释.
（2）点A、B在直线m同侧：
简析：过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d，作点B关于直线m的对称点B’，连接B’C交直线m于一点即为点Q，过点A作CQ的平行线交直线m于点P；因为线段PQ长度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小，由平行四边形性质和对称性质可知PA=CQ、BQ=BQ’，所以PA+QB就转化为CQ+QB’的最小值，结合“两点之间线段最短”即可解释.
（饮马问题其它变式将另作分析，不再累述）
2.在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：
简析：连接AB与直线m、n的交点即为所求点P、点Q，理由为“两点之间线段最短”.
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
简析：作点B关于直线n的对称点B’，由对称可知BQ=BQ’，所有PA+PQ+QB就转化为PA+PQ+QB’，再结合两点之间线段最短即可解释.
（3）两个点都在内侧：
简析：分别作点A和点B关于直线m、n的对称点A’、B’，连接A’B’与直线m、n交于两点即为所求点P、点Q，由对称可知PA=PA’，QB=QB’，所以PA+PQ+QB就转化为PA’+PQ+QB’，再结合“两点之间线段最短”即可解释.
（4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
简析：因为线段AB长度不变，要使四边形ADEB周长最短，只要保证AD+DE+BE最小即可，这样就转化为上面的的模型；分别作点A和点B关于直线n、m的对称点A’、B’，连接A’B’与直线n、m交于两点即为所求点P、点Q，由对称可知DA=DA’，EB=EB’，所以AD+DE+EB就转化为DA’+DE+EB’，再结合“两点之间线段最短”即可解释.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点，使△APQ周长最短.
简析：作点A关于直线n、m的对称点，分别记为点A’、A”，由对称可知QA=QA’，PA=PA’，
所以C△APQ=QA+PQ+PA=QA’+PQ+PA”,再结合“两点之间线段最短”即可解释.
3.点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
（1）两点在直线两侧：
简析：如下图，结合“两点之间线段最短”、“垂线段最短”可得.
（2）两点在直线同侧：
简析：作点A关于直线m的对称点A’，由对称可知PA=PA’，所以PA+PB就转化为PA’+PB，结合“两点之间线段最短”、“垂线段最短”可得.
4.动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
（1）点与圆在直线两侧：
简析：如图，结合“两点之间线段最短”和“圆的半径不变性”可得直接连接OA即可得解.
（2）点与圆在直线同侧：
简析：如图，作点A关于直线m的对称点A’，结合“两点之间线段最短”和“圆的半径不变性”可得直接连接OA’即可得解.
5. 求两线段差的最大值问题
在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
简析：如下图，当点P不与点A、B共线时，此时点P、A、B构成三角形，由三角形三边关系可知<>
（2）点A、B在直线m异侧：
简析：如下图，作点B关于直线m 的对称点，由对称可知PB=PB’，当点P不与点A、B共线时，此时点P、A、B’构成三角形，由三角形三边关系可知<>
正所谓“磨刀不耽误砍柴工”，以上为线段最值问题常见的基本作图，你若熟练掌握并将作图基本原理理解透彻，相信你一定能轻松解决能解决大多数问题，让我们在下面几个实战专题中再见.
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