什么是智慧？
智慧就是能够在纷繁复杂的现象世界中看见异同发现规律，再以此解决问题改造现实.
这也是我们一切学习的最终目的.
而数学提供了最好的工具和方法.
在武侠小说中一切功夫以武道和心法为上，以招式为次，兵器更次，若无心法功力，即使倚天剑屠龙刀在三脚猫手中也无甚大用.像《倚天屠龙记》中的九阳真经：“他强任他强，清风拂山岗，他横由他横，明月照大江”，就不是具体的招式，而是武功心法.它虽没有招式，但能产生一切招式，它虽未及兵器，但能役使一切兵器.
学习也要从道、法、术、器的不同层面进行深入研究领悟，才能更好地掌握该学科的精髓和本质.
多说无益，且看实例，来吧，上题.
例.Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3/4，AD=3，CD=4，BD的取值范围为 .
如果不了解解题的方法策略和基本模型，乍看此题会比较懵圈，感觉无从下手.
数学思维的根本之道是什么？
如果用最简洁的文字来表达，应该是“抽象、推理”.
我们对问题进行抽象和推理：
（1）△ABC形状确定，但大小不确定。AD、CD大小确定，但不在确定的三角形中.
（2）要求的线段BD所在三角形只有一边确定，且无法利用已知条件建立有效联系.
问题的关键找到了，条件无法有效利用说明模型不完整，当此情境时我们通常要进行“完形构造”.“完形构造”是一种通用的思考方法，它让我们根据条件积极地联想寻找相关的可用的数学模型并进行构造.
上面的分析是在“道”与“法”的层面，继续再到“术”与“器”的层面思考：如何构造模型呢？构造哪种模型呢？
完形构造法有三种具体方式：有则组之，缺则补之，无则变之.
由条件知BC：AC：AB=3：4：5，我们可以联想到相似模型，题中的关键线段（已知的和所求的）是AD、BD、CD，那么我们要干的事自然就是构造含AD、BD、CD的三角形使之与△ABC相似，也可以看成构造与△ACD、△BCD、△ABD相似的三角形，到最后你会发现一件既神奇又合理的事：它们是一致的、等价的，异曲而同工，殊途而同归！
既然△ABC的形状已确定，我们就以AD为边添补构造一个与之相似（形状相同）的三角形△AED.AD长已定，则△AED三边皆定.还要注意△AED的方向位置与△ABC要一致，为什么呢？因为这样才可以进行下一步推理，得到另一对相似三角形△ADC∽△AEB，这就是很常用的“一转成双”模型，如下图.
此构造从“补形”（缺则补之）的角度看，是在AD处补上一个以其为边的与△ABC相似的△AED；从“变形”（无则变之，变即运动变换）的角度看，是把△ABC旋转缩放至△AED，或把△ADC旋转缩放至△AEB.
简要推理过程：作∠ADE=90°，DE=9/4，得△ADE∽△ACB，得AD:AE=AC:AB=4:5，且∠DAC=∠EAB，得△ADC∽△AEB，CD:BE=4:5， 所以BE=5，得5-9/4≤BD≤5+9/4，即11/4≤BD≤29/4.
上述方法可抽象概括为：以AD与AC为对应边构造三角形与△ABC相似，或旋转并缩放△ABC使AC与AD重合，或旋转并缩放△ADC使AC与AB重合.
抽象具有强大的作用是因为它可以作为规律重复使用，我们把它作为一般方法再使用，把上面的边或三角形进行同类置换：
以AD与AB为对应边构造三角形与△ABC相似，或旋转并缩放△ABC使AB与AD重合，或旋转并缩放△ABD使AB与AC重合.如下图：
推理过程与前图类同，这里是先在△CED中求CE的取值范围，再根据BD=5/4CE求BD的取值范围.
图中的AD、BD、CD所处地位是等价的，根据对称原理，可以把三条线段任意一条作边构造3:4:5的相似三角形，每条线段有两种对应方式可作两种图形共有六种作法，或把三个三角形分别绕A、B、C三点顺逆旋转各一次共六种构造方法，另四种构造方式如下图：
上面六种构造方法从本质上来说是一种方式，可抽象为：以关键（已知或所求）线段为边构造相似三角形（或把关键线段所在三角形旋转缩放构造得到两对相似三角形），最终把所求线段或其相关线段转化到一个有两边确定的三角形（可能三边共线）中，从而得到所求线段的取值范围.
本题还可以从轨迹与集合的角度思考：若线段AD的位置确定，C点轨迹可以看成以D为圆心4为半径的圆，而B点可以看成由C点绕定点A旋转∠CAB并放大5/4倍而得，判断C点与B点的关系属于主从联动模型，可得B点轨迹是圆D绕点A旋转∠CAB并放大5/4倍，圆心也是由D绕A旋转∠CAB得点E，半径长为4×5/4=5，问题转化为定点D到圆E上动点B的最大路径和最短路径，从而得到同样的结论.
类似的，若线段CD的位置确定，A点轨迹可以看成以D为圆心3为半径的圆，同样是主从联动模型，转化为定点D到定圆E的最值问题.
上文所提的最值模型及主从联动模型在拙著《中考数学思维方法与解题策略》中有完整归纳，或在本公众号搜索关键字“最值”和“路径”可以获得相关文章专门讲解.
我们在上面的问题解决中所用的都是基本的知识模型：旋转、相似、两点之间线段最短，但是显然仅掌握这些知识模型是远远不够的.知识模型是器与术的层面，策略方法是道与法的层面，在知识模型的运用中体现和生成策略方法，策略方法为知识模型的具体应用提供思想指导.它们相辅相成不可分割，若离开策略方法，则知识模型就成了死的无用的东西，若离开知识模型，则策略方法就成了无源之水无本之木.
我们把上述问题进行抽象可以形成这样的一类模型：三点A、B、C组成一个确定形状的三角形ABC，另一点D到此三点中的两点距离确定，则D到第三点的距离取值范围可求，概括为：一点、定形、两定长.
这样，我们不仅会解题，还会编题，抬手间就可以命制几道同类问题：
（1）已知等边△ABC，AD=3，BD=5，求CD的取值范围.
（2）已知正方形ABCD中，AP=1，CP=3，求BP的取值范围.
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=2，E为CD的中点，CD=4，AE=√2，求BD的取值范围.
怎么样，不看例题讲解能不能信手拈来几种不同的构造方法？
如果能，才算是真正掌握了领悟了这类问题的解题策略和方法！
公布答案：（1）2≤BD≤8；（2）√2≤BP≤2√2；（3）2√2≤BD≤6√2.
值得一提的是第（3）题，题中部分图形条件符合例题模型“一点定形两定长”，一点E到确定形状的△ABC顶点中已知两定长AE、CE，可求BE的取值范围，但题目求的是BD的取值范围，求BE并无帮助.可取BC中点F，BD=2EF，求EF的取值范围即可.
用同样的构造方法如下图，作等腰直角三角形ECP，在△EFP中根据PE、PF的长求EF的取值范围是√2≤EF≤3√2，进而求得2√2≤BD≤6√2.
也可以从轨迹的角度看，A点轨迹为半径为√2的圆E，由BC:AC=2，∠ACB=90°，可知B点轨迹是圆E绕点C旋转90度并放大2倍的圆P，BD就转化为定点D到圆P上一点B的长度最值（也可以直接在△BDP根据PD、PB的长确定第三边BD的范围）.
如果才能做到解决问题时得心应手游刃有余呢？
老子说：有道无术，术尚可求，有术无道，止于术.
庄子说：以道驭术，术必成，离道之术，术必衰.
孙子说：道为术之灵，术为道之体，以道统术，以术得道.
古人又说：上人用道，中人用术，下人用力.
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