一、单选题
1．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上。给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形。其中正确的是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，④
C．①，③，④ D．②，③，④
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】
解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD；
③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF，
∴∠AFC=∠ABC=60°；
④∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
∵AB=BC，∠EAB=∠BCD，
∴三角形AGB≌三角形CHB，
∴GB=BH，
∴三角形BGH为等边三角形；
②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误；
故答案为：C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．一个等腰三角形的周长为40 cm,以一边为边作等边三角形,这个等边三角形周长为45 cm,那么这个等腰三角形的底边长为( )
A．15 cm B．10 cm
C．30 cm或10 cm D．15 cm或10 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
此题中没有明确指出等边三角形的边长是等腰三角形的底边还是腰长，所以我们应该分两种情况进行分析．先求出等边三角形的边长，再分两种情况进行分析求解．
【详解】
解：∵等边三角形周长为45cm，
∴其边长为15cm，即等腰三角形的一边为15cm，
则：若该边为腰长，则底边为：40-2×15=10cm，
若该边为底边，则腰长为：（40-15）÷2=12.5，
∴等腰三角形的底边为15cm，10cm．
故选：D．
【点睛】
此题中没有明确指出等边三角形的边长是等腰三角形的底边还是腰长，所以我们应该分两种情况进行分析．
3．如图，在三角形PAB中，PA=PB,D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且
AD=BF，BE=AF，若∠DFE=34°，则∠P的度数为( )
A．112° B．120° C．146° D．150°
【答案】A
考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
4．用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A．x2＋y2＝49 B．x－y＝3 C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13
【答案】D
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝1/2BD·CE；⑤BC2＋DE2＝BE2＋CD2.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边'证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相
等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对
应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出
④正确；根据勾股定理表示出
，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误.
【详解】
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC, AD＝AE,
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋∠CAD,
∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝90＋∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAB),
∴CE＝BD，①正确；
∠ABD＝∠ACF
∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°,
在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)
＝180°－ 90°＝90°
∴BD⊥CE,
∴四边形ABCD的面积＝
故④正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中
由勾股定理，在Rt△DEG中，
在Rt△BGE中，
在Rt△CDG中,
故⑤正确；
只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE，
∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°
无法说明AE∥CD，故②错误；
∵△ABD≌△ACE
∴∠ADB＝∠AEC
∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正的结论有①④⑤共3个.
故选C.
【点睛】
熟练掌握全等三角形的证明及角与角之间的转化是本题解题的关键.
6．如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC=4m，BC=3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】
由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AB=BD，③AD=BD，3种情况进行讨论．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，关键是正确进行分类讨论．
二、填空题
7．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则一个底角为______________．
【答案】70°或20°
【解析】
【分析】
、首先根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图一，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD=50°时，②如图二，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD=50°时；然后根据等腰三角形的性质，分别解答出即可．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键．
8．如果直角三角形一条直角边长为23，斜边和另一条直角边长的长度都是整数，则这个直角三角形斜边的长为_________________；
【答案】265
【解析】
【分析】
设这个直角三角形的斜边长为c，另一条直角边长为b.由勾股定理知
，即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529，又因这个直角三角形的三条边长都是正整数，可得c－b＝1， c＋b＝529，由此即可求得这个直角三角形斜边的长.
【详解】
设这个直角三角形的斜边长为c，另一条直角边长为b.
由勾股定理知：
即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529
∵ 这个直角三角形的三条边长都是正整数
∴ c－b＝1， c＋b＝529，
解得：c＝265，b＝264.
答：这个直角三角形的斜边长是265.
故答案为：265.
【点睛】
本题考查了勾股定理及平方差公式的应用，利用勾股定理及平方差公式求得c－b＝1， c＋b＝529是解决问题的关键.
9．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是_____．
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR．
【详解】
解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中，
PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以①AS=AR正确；
因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以∠PAR=∠PAQ，
于是∠RAP=∠QPA，
所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．
故答案为：①②．
【点睛】
此题考查了到角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键．
10．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，则斜边上的中线长为____．
【答案】2.5或根号34/2
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为__．
【答案】3.
12．已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)
【答案】①②④
13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为_____秒．
【答案】25/4
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是_____．
【答案】3≤DE≤5
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