关于0.999…是否等于1的问题，在网上争论已久。但令人惊讶的是至今仍然有很多人在质疑这个结论，无论如何解释都始终认定两者不可能相等。
今天笔者斗胆再谈这个问题，尝试一下能否将这些人彻底说服。
当然，如果你坚定地认为0.999…≠1，我也充分尊重你的观点。但我希望你能够认真看完本文，理解清楚文中的行文逻辑后再对我进行反驳。
首先我们明确到底什么是0.999…？
0.999…9代表小数点后有n个9，注意无论这里的n是多大，它始终是有限个的；
0.999…代表小数点后有无穷个9
注意到
0.999…=0.999…999…
很显然有
0.999…＞0.999…9
也就是说，无论小数点后有多少个9，小数点后有无穷多个9的值是一定大于有限个9的值。
我们首先来看一个最简单的思路。
对于1/3=0.333…的结果，几乎所有人都是认可其正确性的。
既然如此，那么
0.999…=3×0.333…=3×(1/3)=1
0.999…=1
这样的结果也应该能够被接受啊！
然而，反对的声音依然强烈。
有人说3×0.333…=0.999…是错误的，无穷不能这样计算；
也有人说，这样证明一看逻辑就不严密，但又说不出哪里不严密。
好吧，既然你说这种方法不行，那我就换一种方法。
求证：0.999…=1
证明：令a=0.999…
10a=9.999…=9+0.999…=9+a
9a=9，a=1
0.999…=1，证毕！
如果这样的证明都还不严密的话，我是真的服气了。但现实往往很打脸，让我不得不服。
因为总有一些人说，无论你吹得如何天花乱坠，0.999…肯定比1小，因为0.999…只能是无限趋近于1，但永远不可能等于1。可以说0.999…的极限等于1，不能说0.999…=1，因为无限趋近不代表极限。
好吧，既然你提到了极限，那我就来教教你，到底什么是极限。
我以比较简单的数列极限为例来进行说明。
我们对数列极限的具体定义如下：
对于数列{an}，a为确定数
若对于任意足够小的正数ε＞0，总存在正整数N，使得当n＞N时，都有∣an-a∣＜ε
则称数列{an}的极限为a，记作
lim(an)=a，n→∞
以上极限定义的意思是，无论正数ε有多小，如果数列{an}从某一项开始以后的所有项与a的距离都始终比ε还要小，那么数列{an}的极限就是a。
如果你对上述极限的专业定义看不懂的话，那我就再换个通俗易懂的说法。
简单来说，意思就是如果一个数列无限趋近于某一个确定的值，那么这个定值就是这个数列的极限。
例如，当n趋近于∞时，1/n无限趋近于0，那么我们就说1/n的极限为0。表示为：
lim(1/n)=0，n→∞
特别强调：当n→∞时，1/n的极限就是0，而不是极限趋近于0，尽管1/n永远也不可能等于0
所谓0.999…的含义，我们可以理解为一个数列：
0.9，0.99，…，0.999…9，…
的极限值
这个数列的通项
an=0.999…9【n个9】
0.999…=lim(an)，n→∞
=lim0.999…9【n个9】，n→∞
再次强调，0.999…代表的就是这个数列的极限值，而不是代表这个数列中的某一项，也不是代表这个数列的趋势。
正确的说法是，当n趋于无穷时，0.999…9趋近于1，0.999…9的极限是1；
而不能说0.999…趋近于1，因为0.999…就代表0.999…9的极限。
我们再换一种思路来证明
an=0.999…9【n个9】
0.9=1-0.1
0.99=1-0.01=1-(0.1)^2
0.999=1-0.001=1-(0.1)^3
…………
an=0.999…9【n个9】
=1-0.000…0001
=1-(0.1)^n
an=0.999…9【n个9】=1-(0.1)^n
我们还可以利用等比数列求和公式来求an
0.999…=0.9+0.09+0.009+…
数列0.9，0.09，0.009，…是一个
首项a1=0.9，公比q=0.1的无穷递缩等比数列
根据等比数列求和公式
Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)
an=0.999…9【n个9】
=0.9+0.09+…+0.00…009
=0.9×[1-(0.1)^n]/(1-0.1)
=0.9×[1-(0.1)^n]/0.9
=1-(0.1)^n
an=0.999…9【n个9】=1-(0.1)^n
0.999…=lim(an)=lim[1-(0.1)^n]
=1-lim[(0.1)^n]，n→∞
很明显，当n→∞时，(0.1)^n无限趋近于0，也就是说，(0.1)^n的极限为0
lim[(0.1)^n]=0，n→∞
0.999…=1-lim[(0.1)^n]，n→∞
=1-0=1，n→∞
0.999…=1
之前看到有人评论说，“无穷能够用等号吗？”、“无限趋近于能够用等号吗？”、“极限能够用等号吗？”，对于这些问题我实在是不想再去解释回应了。
为什么不先把“极限”的概念理解透彻后再来提问呢？
有一个朋友的评论我非常认同。
“能否从心理上毫无疑惑地接受0.999…=1，这是区分一个人数学水平高低的一道小坎。之所以说是一道小坎，其意是说，能接受者水平未必高，但不能接受者水平肯定很低”
最后再强调一次，0.999…并不是代表一种趋势，而是代表一个具体的极限值，省略号后面没有具体的数字，就是代表这种趋势的极限值。
最后再引入一种观点，对于两个实数a和b，如果a≠b，则a和b必存在大小关系。
假设a＜b，则必然能够找到一个实数(a+b)/2，满足
a＜(a+b)/2＜b
证明：a＜b
a-b＜0，b-a＞0
(a+b)/2-a=(a+b-2a)/2
=(b-a)/2＞0
(a+b)/2＞a
(a+b)/2-b=(a+b-2b)/2
=(a-b)/2＜0
(a+b)/2＜b
a＜(a+b)/2＜b，证毕！
那么，如果0.999…＜1，则我们必然能够找到一个实数m，满足
0.999…＜m＜1
请问：这样的m是多少呢？
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