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数学教学中类比思想方法_教师文集_教师园地_育英·恒丰初中部

2011-01-17

数学教学中类比思想方法

                                                        张优辉

摘要: 全日制中学教学大纲指出,要重视能力的培养,使学生逐步学会分析、综合、归纳、类比等重要的思想方法。在各种逻辑推理方法中,类比思想方法是富于创造的一种方法。这是因为它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比,可以比较本质的特征,也可以比较非本质的特征,因而具有较强的探索和预测作用。根据学生的抽象逻辑思维从经验型向理论型急剧转化的心理特点和中学数学教材的特点,教学中恰当地应用类比方法,不仅能突出问题的本质,提高教学质量,而且有助于培养学生的创造能力等思维品质,提高认识问题和解决问题的能力

《普通中学数学课程标准》(实验)中在选修1222中明确要求“能利用归纳和类比等进行简单推理”,“类比是合情推理常用的思想方法”。近几年的高考也大量出现类比题,引起了大家的关注和研究。类比可以开拓学生的视野,提高创新思维,通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。

素质教育的目的是提高学生的思维能力和科学文化素质。所以,我们应摒弃“题型+方法”的教学方式,自觉渗透类比推理的教学思想方法,帮助学生学会数学地思维,提高他们的素养,培养他们的创造性思维能力。

关键词:  类比     推理     方法  

 

 

一、类比的价值和意义

1.1.类比可激发学生学习兴趣

通过类比可以探索出很多新的知识、方法,寻求出与众不同的解题思路,探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理,从一个已知的领域去探索另一个领域,而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣,让学生去主动地探索、研究新的知识。

1.2.通过类比得出新知

数学教材中,很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的,在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性,那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识,同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。

1.3.通过类比提高学生数学思维能力

高中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力,这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时,当有了类比的意识,他会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系,架起桥梁,沟通知识与知识、方法与方法之间的关联,激活学生的思维,从而去提高学生的思维能力。

1.4.类比是数学发现与创新的重要手段

类比就是一种大胆的合理的推理,它是创新的一种手段。因为有了类比,在研究一个问题时,学生将跳出一定的框架,不受现有知识的约束,根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法

 

二、数学教学中的类比形式分类:

2.1 同构类比。

  这是类比中的一种极端形式。同构的意义是一个集合MN之间的一一对应f是一个对于代数运算O 来讲的MN之间的同构对应,假如在f之下,aMbM

  如果在MN之间,对代数运算O MN同构,记为M@N。例如,坐标平面上有序实数对(xy)所组成的集合X与平面上向Z的集合Y的对应f:(xy→x+yi,那么X@Y

  在中学数学中,最常见的同构类比就是数形结合、函数与图像,代数与解析几何等。

  由两点间的距离公式得几何意义为点PXO)到点A12)与点B23)距离之和的最小值,利用同构类比转化如图,根据几何定理,|PA|+|PB|的最小值为A关于X轴对称点A′12)与点B的距离,

2.2 非同构类比。

  即从对象的某些属性相同推出它们的其它属性相同,这是高中数学中大量采用类比形式,常常又可分为:

 2.21.相对概念的类比。

  数学教育家波利亚说:类比就是一种相似。把两个数学对象进行比较,找出它们相似的地方,从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方,这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。

  例如:高中立体几何中二面角的定义,从模型引入二面角后可以从平面几何角的概念,类比概括二面角的定义,见下表:

  通过角的概念,由平面«空间«线线«进行类比得出二面角的定义,既可减少二面角的教学难度,又可以使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中。

2.22.新旧知识的类比。

  这是教材中安排得最多的类比内容,在讲授新知识的同时,经常联系旧知识,创造条件进行类比,扩展学生的思路,养成学生进行类比推理的习惯。我们知道,平面几何的基本元素是点和直线,而立体几何的基本元素是点、直线和平面,如果我们建立如下对应关系:平面内的点对应到空间中的点或直线,平面内的直线对应到空间中的直线或平面,那么把平面几何某些定理中的点换作直线,或把线换作平面,就可以帮助学生发现一类相似的立体几何定理。

  通过这样新旧知识的联系来进行类比,既有利于理解、掌握新知识,还能使旧知识得到巩固,同时拓宽视野。

 2.23、同类事物的类比。

  所谓的同类事物是指这类对象具有相同的条件、结论、问题的形式、数学方法等。同类事物的类比能使学生从感性材料出发,认识事物的数学特征,形成积极要求探索的心理状态,引导探索一般结论,掌握从特殊到一般的认识规律,达到寻根探源的目的。

例如,讲授重要不等式时,在推证:若 a0  b0 c0 d0,则a2+b2≥2ab

a3+b3+c3≥3abc之后,可引导学生进行类比,使之认清其相似特征:即不等式右边的项的因数就是左边各项的底数,不等式右边项的系数,就是左边的项数,这样引起了学生思考,形成了要求继续下探的心理状态,于是设问:当a0b0c0d0,呢?学生很快类比联想得不等式a4+b4+c4+d4≥4abcd,顺此继续联想类比,得出当a1a2…an均大于0时,不等式a1n+a2n+…+ann≥na1a2……an也要成立。当然类比只是一种猜测,还要通过严谨的论证才能成立。

  关于类比,还要注意可能产生的负迁移,也就是要克服一些错误的类比,如易混概念的类比,易混性质的类比,从而准确地掌握概念和性质的本质,有区别地认识具有某种相似性的概念。

  例2.若|4i+log0.5x|≥5,其中i2=-1xR,求x的取值范围。

  错解:原不等式可化为4i+log0.5x≥54i+log0.5x≤-5……

  这里受实数x |x|≥aa0Ûx≥-ax≤-a的影响而产生的负迁移。事实上,应该先把问题实数化,

2.24Zn=1ÞZ=1,(5ax2+bx+C=0有实根Û≥0。教学中,通过这些易混概念性质的类比,既可纠正学生的错误,还可以使学生掌握类比的可行性、准确性、局限性,从而科学地掌握运用类比思维方法。

  康德说过:每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这种方法往往能指引我们前进。因此只要学生学会了类比这个重要的思想方法,不仅能帮助他们理解和掌握新知识,而且还能提高他们的解题能力,促进创造性思维的培养。

 

三、类比的手段

3.1.通过类比旧知,构建知识体系

按照《课标》的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升,构成了完整的体系,知识之间也存在着思想方法等联系,教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。

在讲授等比数列时,先回忆等差数列中的相关知识:

定义:an1an=dd为常数),

通项公式:an=a1+(n1d

性质:an=+(n-m)d;

若m+n=p+q,则a+a=a+a

通过小组合作,回忆旧知的证明推导方法,来类比得到新知,得到结论,给出证明。

这种类比的方法可以广泛地运用,譬如,平面向量到空间向量的类比,平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比,也可以包括一些常见的结论,如平面向量中 λμ=1,则PAB三点共线,类比空间向量 xyz=1,则PABC四点共面

3.2.通过类比方法,领会其中思想

教师教学生,不仅是简单地讲解知识,不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法,分析问题的能力、迁移解题的能力。

定积分中求曲边梯形的面积,步骤为无限分割-以直代曲-求和-取极限”,核心为以直代曲。在同学们探讨得出方法,理解思想方法之后,我给出思考题:证明半球的体积为πR3。同学们通过讨论想出了分割的多种方法,底面与圆面平行的若干圆柱;底面与圆面垂直的若干小半圆柱;圆锥。在讨论中不断克服困难,以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。

3.3.通过类比形式,发展创新思维

在解题的过程中应要求学生不拘一格,以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化,两个对象在表面上毫无共同之处,但通过观察、创造条件,使两者存在共同点,这种类比不是一种简单的模仿,而是一种创造性。

譬如:(1)已知函数fx=axb3a24b2=12,求证:当x[11]时,|axb|≤

分析:由3a24b2=12的形式联想类比到椭圆的标准形式 =1

故设a=2cosθb=sinθ

|axb|=|2xcosθsinθ|≤≤,得证。

2)解方程

分析:观察每个式子中都有一未知数为一次项,整理得

,观察形式类比联想到正切的二倍角公式,

x=tanθθ(- ,),则y=tan2θz=tan4θx=tan8θ

故有tanθ=tan8θ

所以8θ=θθ= (- ,),

x=tany= tan z= tan k=0±1±2±3

 

四、培养学生类比意识的教学途径

4.1教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功

要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题,教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功,否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系,怎能有效组织好类比教学,展示数学的内在和谐美,展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法,不能思维定势地去思考问题,对问题能有自己独到的见解,通过自身的努力夯实专业基本功。

4.2.经常创设类比问题情境

要想培养学生的类比能力,教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中,教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境,暴露数学的思维过程,把每一个环节展现给学生,让学生观察和类比。现在的数学教材中,每章都有引人入胜的章头图,同时在很多小节中也有生活的实例,学生

4.3.实行变式教学

应该说变式教学是中国教学中成功的环节,通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西,通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力,从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握,才能有新的想法。

4.4.教学过程中注重知识的生成

通过教学发现,学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用,只有有了相关知识作为保障,才有跳一跳摸得着的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识,教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系,只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果是教师的一味灌输只能带来僵硬的思维方式。

4.5.开展小组合作交流

考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性,类比教学有时对学生的要求可能相对较高,凭一己自力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式,俗话说三个臭皮匠顶上一个诸葛亮。通过合理搭配小组的构成,营造轻松的研讨氛围,让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会,通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂,去批判地接受新知的生成。

 

五、类比教学中的注意点

5.1  知识、方法的可类比性

教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系,不能让学生的类比活动毫无头绪,变成无方向的一种所谓的探究,而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质,但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。

5.2  类比中的科学性

类比虽然是一种大胆的猜想,但类比不能仅满足于猜想,停留在猜想到的东西,还要进行科学性的验证。笔者在一次复习教学中安排了以下看似相关的两道题,

1)在椭圆x28y2=8上找一点P,使点P到直线lxy4=0的距离最小。

分析:把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离。

设与l平行且与椭圆相切的直线为y=xm,联立得9x216mx8m28=0

通过=0结合图象得m=3,从而得到最短距离和切点坐标(即为P点)。

2)求椭圆x24y2= 4上的点到点(05)的最大距离。

学生用类比的思想,想到以(05)为圆心作圆,设方程为x2+(y52=r2,利用圆和椭圆的相切联立求出r2= ,即最大距离为

可以看出学生类比其中相切的思想方法,求出了最大距离,感觉一气呵成。但细细一想,若求最短距离,利用同样的方法仍然只能求出r2= ,出现了问题。

分析原因,由于在圆锥曲线中xy有了范围,所以相切只要求联立后的方程只有一解,一个符合范围的解,而不一定=0,所以此处的类比由于范围的原因而不具有可类比性,出现了问题。

只有我们意识到类比的教育教学价值,通过类比的教学方法去展示数学的知识,才能让学生拓展视野,以极大的热情去研究、学习数学,认识到数学世界的和谐统一,才能真正实现学生由学会会学的转化

 

数学思维中类比能力培养

6.1.类比推理及其特性
   类比的方法是以两个对象之间的类似为基础的。波利亚说:两个系统可作类比,如果它们各自的部分之间,在其可以清楚定义的一些关系上一致的话。

  例1:平面上的一个三角形可与空间的一个四面体类比。如:RtABC中斜边上高为h,则(1/a2)(1/b2)=1/h2,而在四面体SABC中,SASBSC两两互相垂直,SA=aSB=bSC=c,顶点S到底面ABC的距离为h,则有(1/a2)(1/b2)(1/c2)=1/h2。直角三角形与直角三棱锥类比、直角边与侧棱类比、斜边与底面类比、斜边上的高与顶点到底面距离类比,于是,结论就可以类比。

  可见,运用类比方法的关键是要善于发现不同对象之间的相似

  类比作为一种推理方法,它既不同于归纳推理也不同于演绎推理。应用类比推理可以在两个不同知识领域之间实行知识的过渡,因此,人们常常把类比方法誉为理智的桥梁,是信息转移的桥梁。经常有这样的情况:长时间沉思于某一问题而未得解决,然而在某一时刻,在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用,触发信息的过渡,使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说:每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比,这个方法往往能指引我们前进。”[2]特别是研究立体几何时,往往会得益于平面几何中的类比问题。

  类比的特征是:两个对象的某些属性是相同的,或者表面上毫无共同之处,只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的,它的结论不是简单的模仿、复制,而是创造性设想。

  因此,我们在教学过程中,要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练,着重训练学生的类比归纳猜想能力。

6.2.
数学活动中的类比

  波利亚说:类比是一个伟大的引路人[1]类比在科学创造的发明与发现中有着十分广泛的应用。毫不例外,在数学领域中也有着广泛的应用。数学中的类比着眼于两个数学对象之间在空间形式与数量关系的相似。

  从表面上看:似乎超出大纲。其实,只要运用类比推理,问题就不难解决;将其与y=sin(X1)进行类比就可发现:H(X1)的图象,也可由H(X)的图象平移得到。

  在解题过程中,寻找解题的突破口,优化解题方法,往往都离不开类比联想。

  例2,已知
H(X)=
  0X≤0时,

  1X>0时,画函数y=H(X1)的图象。

  (84年全国高考题
)
  例3,已知数列{bn}是等差数列,b1=I,b1b2b10=145

  ()求数列{bn}的通项;
()设数列{an}的通项an=loga(1)(其中a>0,且a≠1)Sn(an)的前n项和,试比较Snlogabn1的大小,并证明之。(98年全国高考题第25)
  第()题转化后涉及证明如下不等式:对于通项是假分数,可以与课本《代数》(下册)P12

  可见,解题活动中的种种念头的产生是依赖于解题者类比联想能力,但解题者要正确对待解题过程中失败的念头,从中查找原因,进行新的类比,使之接近正确的方向。
  为此,波利亚说:类比是获得发现的伟大源泉[1]不论在初等数学、高等数学中的发现,或者任何别的学科中的发现,恐怕都不能没有这些思考过程,特别是不能没有类比。所以,我们在数学过程中应自觉渗透类比教学思想方法,提高学生的研究数学的兴趣,培养他们的创性性能力。

  6.3.培养学生类比能力的措施

  鉴于类比在科学发现、发明及数学领域中的重要作用,那么如何培养学生的类比能力呢
?
 6.31.创设教学情境,激发类比兴趣

  兴趣是最好的老师。浓厚的兴趣和强烈的求知欲望是学生的内驱力,创设数学教学情境是激发学生兴趣的有效方法。

  在实际教学中,应多介绍一些大科学家的类比实例,介绍类比在科学发明发现中的重大作用,形成良好的氛围。如计算机的诞生、飞机制造的历史、伽利略的抛物实验、杨振宁的场论等等一系列重大发明发现。继而引导学生认识到,在平时解题活动中也有一系列的类比,这样激励学生大胆类比,猜想发现,最后论证。
4:已知函数,证明对于任意不小于3的自然数n都有(91三南高考试题) 分析:转化为引导学生观察左、右两式与解几中哪个式子相似。类比能力强的学生很快将其与斜率公式进行类比,设A(2n,2n)B(11)C(n,n)D(10),这时左右两边依次为直线ABCD的斜率。由图形知,直线ABCD相交于E且在第三象限,AB的倾斜角大于CD的倾斜角且均为锐角,于是有KAB>KCD,即命题得证。 因势利导,又引导学生成功地解决了97年高考应用题、96年高考三角题,于是总结出形如的范围均可类比为斜率法求解,这样不仅激发了学生类比的欲望,而且提高了他们的类比兴趣,养成良好的类比习惯。
 6.32改革教学方法,增强类比意识

  数学学习的过程”[3]是一种具体化同化的过程。教师应将自己的再创造为学生展现出活生生的思维活动,从而帮助每一个学生最终相对独立地去完成数学思维的建构活动。一个好的数学教师应该通过自己的教学使学生受到强烈的感染,从而激发他们对数学的兴趣和热爱,增强他们的数学意识,使学生体会到数学活动的内在乐趣。培养学生对数学美的鉴赏和追求,因为对于美的鉴赏正是调动学生学习积极性的有效手段。

  例5空间两平面平行的性质定理的教学时,师生共同回顾平面平行的定义及初中平面几何中线线平行的性质:

  激励学生运用类比联想,大胆猜想,得出两平面平行的性质。学生展开激烈的辩论,课堂气氛异常活跃,学生踊跃发言,情绪高涨,兴趣盎然,结果提出十六种方案。这时教者指出,类比的结果是否正确,要经得起实践的检验。于是学生各自证明这些结论或举反例加以说明,最后仅有九种正确结论,如下诸图:

  这种民主的教学方式,不仅使学生品尝到类比成功的欢愉,而且也使其受到美的韵味的薰陶,更重要的是培养学生对美的鉴赏和探索精神,增强学生的类比意识,使其学会数学地思维。

 6.33运用成功机制,提高类比能力

  科学的类比可以使我们的结论更加接近真理,类比猜想可以丰富人们直觉思维中的知识组块,训练人们的直觉类比能力。所以加强类比的教学不仅能培养学生的直觉思维和创造思维的能力,而且更重要的是能提高学生的科学创造力。

  固然,欧拉从有限到无限的类比使他获得了极大的成功,然而这并不意味着类比总是可靠的。类比既具有引导我们走向成功的一面,也有能把人们引入歧途的一面。因此,我们必须以科学的态度对待类比,既要大胆地使用类比,又要严格证明。

  例6:实数列{an}(nN)(a21a22a2n1)·(a22a23a2n)=(a1a2a2a3an1an)2,求证:{an}为等比数列(96年江苏省高中数学竞赛题
)
  分析:类比能力较强的学生,联想到柯西不等式的形成过程;于是将条件与二次函数f(X)=(a1Xa2)2(a2X
a3)2
  +(a3Xa4)2(an1Xan)2进行类比。展开合并后,运用判别式≤0的方法,使问题得以解决。

  类比成功的原因是他们由已知条件与柯西不等式的形式相似,大胆地将其进行类比,采用了柯西不等式的证明方法。

  

结束语:

数学是一门与思维联系密切的科学。人们之所以把数学看成思维的体操,就是因为通过数学学习可以锻炼人的思维能力, 而数学思维能力在人的思维能力中占有着十分重要的地位和作用。数学教学的重要目的在就于培养学生的数学思维能力。

对比与类比是数学研究与数学发现中常用的两种逻辑思维方法。它不象数学知识如概念、定理、公式等明显地写地教科书上,它是无形的东西,往往被忽视。因此,在数学教学过程中,若能注意介绍类比的方法, 并引导学生应用, 不仅有利于学生对数学概念、原理和数学解题方法的深入理解,亦可促进学生在论证和解题中发现一些新的方法,有助于学生提高数学思维能力。

巨大的科学发明需要有较强的类比能力,而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证,还要捕捉各种类比念头,抓住两系统间的相似之处,利用类比这座雄伟的桥梁,将信息不断地过渡,并不断地证明,使其科学化,从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。

 

主要参考文献:
[1].
波利亚著:数学与猜想·科学出版社
·1984
[2].
刘云章等:数学解题思维策略·湖南教育出版社
·1992
[3].
徐利治、郑毓信、朱梧木贾等:数学方法论教程·江苏教育出版社
·1992
[4]
吕传汉
. 数学的学习方法[M] . 北京:高等教育出版社.              

[5] 王仲春. 数学思维与数学方法论[M] . 北京:高等教育出版社.

[6] 庞之坦. 常用数学解题思维方法[M] . 重庆:重庆大学出版社.


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