在牛顿莱布尼兹创立微积分之初，很多人提出了质疑与批评，其中最致命的批判来自18世纪英国主教贝克莱，他正确地指出数学家们是归纳地，而非演绎地推进、创立微积分，抨击牛顿的最初比与最后比方法对增量的假设前后矛盾，即先给一个增量，然后又让它为零，是分明的诡辩，而且结果实际上是0/0 。他认为莱布尼茨的微积分是从错误的原理出发，通过“错误的抵消”而获得。对于导数被当做x与y消失了的增量之比，即dy/dx ，贝克莱则认为dx 与dy 既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无，只不过是消失了的鬼魂。
贝克莱的攻击出于宗教动机，但却切中微积分含糊、缺乏严格性的要害，这客观上刺激了数学家们为建立微积分的严格化基础而努力。然而，有趣的是，几百年后的今天，微积分教学再次回到了以归纳代替演绎的时代。不仅概念如此，定理、公式也是如此。例如导数的四则运算是这样介绍的：

这个法则的证明与上面那个特殊函数的求导相比有本质的困难吗？实际算一算就知道了：

由导数的定义便可以得到所要的加法法则。当然，这里涉及一个细节，即极限的加法法则，教材或许因为没有介绍极限概念及法则，所以刻意回避这个问题。但对这类问题的直观理解很困难吗？这是需要实践检验的，不能凭拍脑袋主观臆想。如果我是一线教师，我可能会引导学生这样思考：
（1）如果两个量都越来越接近于0，这两个量的和会越来越接近到什么？
（2）如果f(x)越来越接近到A，g(x)越来越接近到B，f(x)-A与g(x)-B越来越接近到什么？
（3）[f(x)+g(x)]-(A+B)越来越接近到什么？通过这三个问题便可以得到加法法则。
何不采用类似的方法试试？
联系客服
