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一维量子引力—解释4维时空中的自由粒子,揭示生命短暂的本质

量子引力可以说是理论物理学的圣杯。在这篇文章中,我将展示一维的量子引力理论,它描述了四维时空中的粒子。

  • 图1:这张图显示了量子引力在物理理论中的位置。

其中一个要素就是费曼的路径积分公式。它将跃迁振幅表示为系统从某个初始状态到某个最终状态的所有可能时空路径的加权和。在量子引力的背景下,路径积分的平均值不是在时空中的路径上,而是在时空的几何上(然而,正如 威腾所指出的,这种描述在微观层面上可能是无效的)。

  • 图2:左边显示了对量子力学求和。右边是量子引力中相应的和,其中时空g类似于路径x[t]。时空g连接两个三维空间h。

要在四维时空中建立一维量子引力和量子场论(QFT)的对应关系,我们首先需要了解这两个成分中的每一项。让我们从量子场论开始。这里所遵循的方法论通常被称为QFT的世界线视角。

标量场理论与克莱恩-戈登方程

量子场是经典场的延伸,如电磁场和爱因斯坦的引力场,到量子框架。

  • 图3:这幅图显示了地球磁场与太阳太阳风的关系。

《量子场理论概论》的作者Zee对量子场论的定义如下:

量子场论是对生命短暂本性的回应。

这个定义来自以下观察:结合狭义相对论和量子力学意味着粒子“可以生也可以死”。

让我们来理解其中的原因。能量-时间不确定性原理指出,人们不能确定只存在于短暂时间内的量子态的能量。这在数学上可以表示为:

  • 式1:时间-能量不确定性关系。

事实上,真空能量波动剧烈。如下图所示,允许(粒子-反粒子)虚粒子对的产生。

  • 图4:真空波动,根据能量-时间不确定性原理,是一个空间区域内能量量的短而强烈的变化。

作为狭义相对论的结果,这可能导致能量转化为质量——新粒子可以“诞生”,现有粒子可以“消失”。问题是标准的量子力学框架不能解释这种现象,因此,需要修改。量子力学的改进版本是量子场论(QFT)。

此外,QFT使我们能够解释,为什么宇宙中有基本粒子的不可区分的“副本”——粒子仅仅是量子场的激发。

  • 图5:这幅图显示了一个模拟粒子碰撞产生希格斯玻色子的过程。

简单的经典弦理论

量子场相当抽象。为了给读者一些直观的感觉,我将使用N个质量m相互耦合的谐振子作为类比。只考虑垂直q_i(t)位移。

对应的作用是:

  • 式2:N个谐振子的经典作用,其中M是一个对称的正定矩阵。

其中矩阵M是对称且正定的:

  • 式3

对M进行对角化,我们得到了法向模态的作用:

  • 式4:法向模态的作用。

下一步是获取连续标量经典场ϕ(x,t)的作用。标量场是QFT中最简单的场类型。将其中的φ (x,t)解释为每个点x上的无限个振荡器集是一种有用的方法。注意,当我们取连续极限时,振子的索引i变成了空间坐标x。连续极限中的作用变成:

  • 式5:自由质量标量场的作用。

根据量子力学的路径积分公式,系统在I和F两态之间发生跃迁的概率为:

  • 式6:量子力学路径积分公式中的跃迁振幅。

式中拉格朗日密度为:

  • 式7:质量标量场的拉格朗日密度。

这里:

生成泛函或配分函数是式6的一种具体情况,是量子场论中的一个关键对象,它是从真空状态转回自身的跃迁振幅,其表达式为:

  • 式8:生成泛函或配分函数,量子场论中的一个关键对象。

真空状态如上面的图4所示。

关于量化方案

在本文中,我将采用量化的路径积分法(而不是标准积分法)。正如我们刚才看到的,该方法基于相对不变的拉格朗日量,使得路径积分也具有明显的不变性。此外,积分内的对象是经典量。

我们注意到,与正则量子化相比,该方法涉及到视角的转变。系统的哈密顿动力学由式6定义。因此拉格朗日量成为量子场论“最基本的规范”。

让我们回到实标量场论的式4。欧拉-拉格朗日运动方程应用最速(陡)下降法近似于作用:

  • 式9:求作用的极值。

  • 图6:显示最陡下降方法的动画。

其结果就是普遍存在的克莱恩-戈登方程:

  • 式10:质量标量场服从的克莱恩-戈登方程。

跃迁振幅的显式计算

重写拉格朗日方程,我们得到:

  • 式11:式8中的生成泛函或配分函数,明确地写出拉格朗日密度。

其中包括外部电势或源电流J。包含J的项是与标量场φ (x)和源电流J(x)之间的相互作用有关的势能项。

这个积分只是高斯积分的一个复杂版本:

可以用高斯积分的标准程序来计算。我们得到:

  • 式12:对ϕ进行积分后的生成函数表达式。

函数D(x)是自由传播子,它是以下微分方程的解:

  • 式13:自由传播子所服从的方程。

由式13,我们可以计算动量为p的粒子在动量空间中的费曼传播子,它是被积函数中D(x-y)的指数相乘的对象:

  • 式14:自由传播子写成动量空间传播子的傅里叶变换。

其中ε是一个很小的正量。给定时空的信号是度规张量对角化后的矩阵表示法上的正负数。对于一个n维洛伦兹流形:

  • 式15:n维洛伦兹流形。

信号是(-,+,+,+,…,+),其中有一个0和n-1个1(在我们的讨论中,n=4)。

如果我们用欧几里德符号(+,+,…,+)来代替,在质量项变为正数之前,会失去ε。传播函数为:

  • 式16:自由传播子的欧氏版本,作为欧氏动量空间传播子的傅里叶变换。

现在让我们进入我们讨论的第二个要素,那就是一维时空中的量子引力。

一维量子引力

我们现在的目标是建立一个一维的量子场论,在那里场与引力相互作用。要构建一维量子场论,我们需要两个基本要素:

  • 理论“存在”的时空(我们的宇宙)

  • 我们要研究的对象,也就是这里的场。它们可以是几种类型,但这里我只考虑标量场。

一维紧流形

在一维上,只有两个可能的紧流形(封闭和有界流形),即:

  • 图7:一维中仅有的两个可能的紧流形。

我们可以用实数标记这两个流形的点,区间I和圆S¹可以被t∈[0,t]参数化。区别在于,在S¹中,我们确定了t和t +T。在一维上,每个流形都有相关的度规g——1 x1张量。我们用以下方法分别表示度规和逆度规:

  • 式17:一维流形的1x1度规(下标)和1x1逆度规(上标)。

一个数学插曲

本节将简要介绍回调(pullback)的概念,以备后用。

回调

微分几何中一个有用的概念是回调。考虑下面图中所示的两个流形M和N、映射ϕ、f及其组成。

  • 图8:回调

从图中可以看出:

函数f通过函数ϕ从N回调到M由以下复合函数定义:

  • 式18:函数f通过函数ϕ的回调。

图7说明了通过映射ϕ将f从N回调到M的过程。

引入标量场

现在让我们用(M, g)表示上面两个一维流形中的一个,即区间I,并让它是场“存在”的时空。我们还引入了另一个N维流形(N, G)。后者称为目标空间,是待研究对象的空间,即标量场。

现在考虑这两个流形之间的映射:

我们引入N上的坐标,选择一个开放的局部表面⊂ N,具有n个局部坐标:

其中,对于每个t∈M, u中有一个x(t)。上面的n个对象x都是一个标量场。下图使这些定义更加清晰:

  • 图9:度量g的流形M(两个可能的一维流形之一)到目标空间N(N维流形)的映射。对于U中的每一点,我们关联一个标量场x。

根据前面的讨论,我们确定局部坐标xⁱ(t)为通过函数x回调到开放局部表面U内的坐标M。

广义相对论作用

现在我们要写下我们理论的广义相对论作用。一般来说,广义相对论的作用是:

  • 式19:包括物质场的广义相对论作用。

在这个表达式中,有四个重要的量:

  • 根号内的g是度规张量的行列式:

  • R是里奇曲率标量,它描述了在每个点附近时空的几何形状(见下图)。

  • 图10:图显示了三个面。第一种是具有负局部曲率(R<0)的双曲面;第二个是圆柱,一个零曲率的表面;第三个是球面,一个正曲率的表面。

Λ是宇宙常数,与真空的能量和暗能量的有关。时空的体积元素是符号:

  • 括号内的第三项是物质场的拉格朗日密度(稍后将更详细地讨论)。

当只有一维时,R消失了(曲线的固有曲率不存在)。R≡0这一事实的一个结果是,在一维空间中,引力是非动力学的。上述对于一维流形的作用比式19简单得多,可以写成:

  • 式20:一维流形的一般相对论作用。

括号内的第一项表示标量场,其中G是N上度规对M的回调。注意没有这一项:

尽管如此,我们仍然可以建立一个量子引力理论,其中度规与物质场耦合。度规g的存在表明标量场与引力相互作用。在目标空间中选择洛伦兹度规:

  • 式21:四维闵可夫斯基度规张量。

作用S变成:

  • 式22:作用S与上面给出的闵可夫斯基度规G。

爱因斯坦场方程(EFE)可以从作用中推导出来。定义2Λ≡m^2,爱因斯坦场方程为:

  • 式23

这个方程可以用“共轭动量”表示:

引号是提醒我们,xs是标量场,而不是位置坐标:

  • 式24:用共轭动量表示的“爱因斯坦场方程”。

遵循规范量子化的标准过程:

  • 式25:共轭动量由微分算子代替。

式24变成:

  • 式26:经过正则量子化过程的量子波函数的微分算符。

我们看到系统的量子波函数Ψ被与式24相关的微分算符湮没。如果我们重新参数化流形M或者等价地如果我们做一个一般的坐标变换:

度规张量变换如下:

现在,我们可以任意缩放度规。选择:

把x⁰换成t,并设n=d=4,我们得到了克莱恩-戈登方程:

  • 式27

克莱恩-戈登描述自旋为0的粒子。著名的希格斯玻色子是第一种也是唯一一种自旋为0的粒子。

我们得出结论,存在一个一维的非平凡量子引力理论,它描述了一个质量粒子在四维闵可夫斯基时空中运动的动力学。

跃迁振幅

现在让我们计算一个粒子在时空中从x点传播到另一个y点的跃迁振幅(或传播子)。请参见图1的左侧,其中显示了用于通用传播子的路径示例。

为了方便,我们选择n维流形N为具有欧几里得度规的四维欧几里得时空:

我们也将使用一维流形m中的欧几里得信号来计算传播子G。在海森堡图中,传播子为:

  • 式28:跃迁振幅。

这个表达式可以写成由下面的积分给出:

此时T≡τ。τ处的传播子可以表示为对所有可能路径的路径积分:

在量子引力中,为了计算跃迁振幅,我们必须对一维M上所有可能的度量进行额外的积分。但是,请注意,由于M的总长度对任意坐标变换是不变的,所以上述讨论的重新参数化的自由度受到了限制:

长度是M的唯一不变量。因此,对所有可能的度量进行积分。因此:

除了因子2,这是欧几里德四维空间中质量为m的粒子的标准标量场传播子。因此,通常的传播子可以表示为一维量子引力流形上的积分。我们再一次看到一维的量子引力也描述了四维时空中的自旋为0的粒子。换句话说,我们可以用一维的量子引力理论来解释一个在四维时空中运动的自由粒子!

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