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高中排列与组合知识讲解及例题精选
 
 

1.学习目标
掌握排列、组合问题的解题策略
2.重点
(1)特殊元素优先安排的策略:
(2)合理分类与准确分步的策略;
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;
(4)正难则反、等价转化的策略;
(5)相邻问题捆绑处理的策略;
(6)不相邻问题插空处理的策略。
3.难点
综合运用解题策略解决问题。
4.学习过程:
(1)知识梳理
1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类中有m1种有不同的方法,在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法,那么完成这件事共有

种不同的方法。
2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种不同的方法;那么完成这件事共有
种不同的方法。
特别提醒:分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏。
3.排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
4.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号
表示.
5.排列数公式:

特别提醒:
(1)规定0! = 1
(2)含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk,且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于
.
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数
又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数
.
6.组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
7.组合数公式:

8.两个公式:①

特别提醒:排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.

(2)典型例题
考点一:排列问题
例1.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
 (1)甲不站两端;
 (2)甲、乙必须相邻;
 (3)甲、乙不相邻;
 (4)甲、乙之间间隔两人;
 (5)甲、乙站在两端;
 (6)甲不站左端,乙不站右端.
 
考点二:组合问题
例2. 男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?
 (1)男运动员3名,女运动员2名;
 (2)至少有1名女运动员;
 (3)队长中至少有1人参加;
 (4)既要有队长,又要有女运动员.
 
考点三:综合问题
例3.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
 (1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?
 (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
 (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?
 
当堂测试
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种
2.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种
3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.48 B.12 C.180 D.162
4.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6 B.12 C.30 D.36
6.用0 到9 这10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A.324 B.328 C.360 D.648
7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙 至少有1人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数为( )
A.85 B.56 C.49 D.28
8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为( )
A.18 B.24 C.30 D.30
9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 ( )
A.360 B.288 C.216 D.96
  
参考答案:
例1 解:(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有
种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有
种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:

方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有
种站法,然后中间4人有
种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:

方法三:若对甲没有限制条件共有
种站法,甲在两端共有
种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:

(2)方法一:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有
种站法,再把甲、乙进行全排列,有
种站法,根据分步乘法计数原理,共有

方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有
种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有
种方法,最后让甲、乙全排列,有
种方法,共有

(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有
种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有
种站法,故共有站法为

也可用“间接法”,6个人全排列有
种站法,由(2)知甲、乙相邻有
种站法,所以不相邻的站法有
.
(4)方法一:先将甲、乙以外的4个人作全排列,有
种,然后将甲、乙按条件插入站队,有
种,故共有
站法.
方法二:先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有
种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有
种方法,最后对甲、乙进行排列,有
种方法,故共有
站法.
(5)方法一:首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有
种,再让其他4人在中间位置作全排列,有
种,根据分步乘法计数原理,共有
站法.
方法二:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有
种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有
种站法,由分步乘法计数原理共有
站法.
(6)方法一:甲在左端的站法有
种,乙在右端的站法有
种,且甲在左端而乙在右端的站法有A
种,共有
站法.
方法二:以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有
种站法,②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有
种,故共有
站法.
例2 解 (1)第一步:选3名男运动员,有
种选法.
 第二步:选2名女运动员,有
种选法.
 共有
种选法.
(2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况:
 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
 由分类加法计数原理可得总选法数为
 
.
  方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
 从10人中任选5人有
种选法,其中全是男运动员的选法有
种.
 所以“至少有1名女运动员”的选法为
.
(3)方法一:可分类求解:
 “只有男队长”的选法为

 “只有女队长”的选法为

 “男、女队长都入选”的选法为

 所以共有
种选法. 9分
  方法二:间接法:
 从10人中任选5人有
种选法.
 其中不选队长的方法有
种.所以“至少1名队长”的选法为
种. 9分
(4)当有女队长时,其他人任意选,共有
种选法.不选女队长时,必选男队长,共有
种选法.其中不含女运动员的选法有
种,所以不选女队长时的选法共有
种选法.
 所以既有队长又有女运动员的选法共有
种.
例3 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另 外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有

(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.
 (3)确定2个空盒有
种方法.
4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有
种方法;第二类有序均匀分组有
种方法.
 故共有
种.
 当堂检测答案
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ( )
A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种
解析:分为2男1女,和1男2女两大类,共有
=70种,
解题策略:合理分类与准确分步的策略。
2.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( )
A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种
解析:合理分类,通过分析分为(1)小张和小王恰有1人入选,先从两人中选1人,然后把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有
种选法。(2)小张和小赵都入选,首先安排这两个人,然后再剩余的3人中选2人排列有
种方法。
共有24+12=36种选法。
解题策略:1.特殊元素优先安排的策略。
2.合理分类与准确分步的策略。
3.排列、组合混合问题先选后排的策略。
3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 ( )
A.48 B.12 C.180 D.162
解析:分为两大类:(1)含有0,分步1,从另外两个偶数中选一个,
种方法,2.从3个奇数中选两个,有
种方法;3.给0安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有
种方法;4.其他的3个数字进行全排列,有
种排法,根据乘法原理共
种方法。(2)不含0,分步,偶数必然是2,4 ;奇数有
种不同的选法,然后把4个元素全排列,共
种排法,不含0 的排法有
种。根据加法原理把两部分加一块得

解题策略:1.特殊元素优先安排的策略。
2.合理分类与准确分步的策略。
3.排列、组合混合问题先选后排的策略。
4.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
解析:4人中恰有1名女同学的情况分为两种,即这1名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所有不同的选法共有
种选法。
解题策略:合理分类与准确分步的策略。
5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6 B.12 C.30 D.36
解析:可以先让甲、乙任意选择两门,有
种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去掉,两个人全不相同,可以让甲选两门有
种选法,然后乙从剩余的两门选,有
种不同的选法,全不相同的选法是
种方法,所以至少有一门不相同的选法为
种不同的选法。
解题策略:正难则反,等价转化的策略。
6.用0 到9 这10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )
A.324 B.328 C.360 D.648
解析: 第一类个位是零,
种不同的排法。
第二类个位不是零,
种不同的解法。
解题策略:合理分类与准确分步的策略.
7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙 至少有1人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数为( )
A.85 B.56 C.49 D.28
解析:合理分类,甲乙全被选中,有
种 选 法,甲乙有一个被选中,有
种不同的选法,共
+=49种不同的选法。
解题策略:
(1)特殊元素优先安排的策略,
(2)合理分类与准确分步的策略.
8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为( )
A.18 B.24 C.30 D.30
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有
种不同的分法,然后三组进行全排列共
种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共
种不同的排法。所以总的排法为

注意:
这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。
这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究 ,这里不再详述。
解题策略:
1.正难则反、等价转化的策略
2.相邻问题捆绑处理的策略
3.排列、组合混合问题先选后排的策略;
9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.360 B.288 C.216 D.96
解析:分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从3个女生中选两位,有
种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有
种方法;这样选出两名女生后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有
中不同的排法,

然后把两个女生看成一个整体,和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有
种不同的排法,共有
种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。
  
甲可能站左端,也可能是右端,有
种不同的方法,然后其他两个男生排列有
种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有
种不同的排法。共
种不同的排法, 故总的排法为
种不同的方法。
本题难度大,体现的排列组合的解题策略多:
(1)特殊元素优先安排的策略:
 (2)合理分类与准确分步的策略;
 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略;
 (4)正难则反、等价转化的策略;
 (5)相邻问题捆绑处理的策略;
 (6)不相邻问题插空处理的策略。
解排列组合的应用题要注意以下几点:
仔细审题,判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步。
深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考虑。
对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。
由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏和重复。

 

 

 

 

 

 

 
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