2014
年六年级学而思综合能力测评（学而思杯）解析
一、填空题
A
（本大题共
10
小题．每个小题
5
分，共
50
分）
1.
下面四个图形中，阴影面积占总面积一半的图形有
个．
①
②
③
④
【考点】计算，分数定义
【难度】☆
【答案】
2
【分析】图形①和④
.
2.
杨老师按零售价买了
6
本相同的练习本，用了
24
元．如果按批发价购买，每本将便宜
2
元，这样
可以多买
．．
本．
【考点】应用题，基础应用题
【难度】☆
【答案】
6
【分析】零售
6
本
24
元，则每本
4
元，即批发价为
4
2
2
元，可以买
24
2
12
本，多买
6
本
.
3.
用
2
、
0
、
1
、
4
这四个数字可以组成
个没有重复数字的四位数．
【考点】计数，乘法原理
【难度】☆
【答案】
18
【分析】乘法原理，
3
3
2
1
18
.
4.
下面的竖式中，被除数是
．
1
0
6
0
□
□
□
□
□
□
□
□
□
【考点】数字谜，除法数字谜
【难度】☆
【答案】
116
【分析】
由第三行是
10
得出除数只能是
2
或
5
，
又由于第五行尾数是
6
，那么除数只能是
2
，
第五行是
16
，则商是
58
，被除数是
116.
5.
下图中，大长方形的长是
40
厘米，长是宽的
2
倍．那么阴影面积是
平方厘米．
（
取
3.14
）
【考点】几何，圆与扇形，图形的分割与剪拼
【难度】☆
【答案】
400
【分析】图形中小正方形边长是
10
厘米，阴影部分正好可以拼成四个小正方形
.
4
10
10
400
.
6.
甲、乙两所小学，甲校的人数是乙校人数的
2
5
，甲校的女生人数占全校人数的
40%
，乙校男生人
数占全校人数的
60%
．如果将甲、乙两校合并，女生人数占总人数的
%
．
【考点】应用题，分百应用题
【难度】☆
【答案】
40%
【分析】
设甲乙两校人数分别为
2
份和
5
份，
则女生共
2
40%
5
(1
60%)
2.8
，
占
2
.
8
(
2
5
)
4
0
%
.
另外，实际上，从甲乙两校女生都占各自的
40%
即可得出结论
.
7.
下图中，长方形
ABCD
的长为
16
厘米，宽为
10
厘米，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
的中点，那么，三角
形
DEF
的面积是
平方厘米．
F
E
D
C
B
A
【考点】几何，三角形面积
【难度】☆☆
【答案】
60
【分析】用总面积减去三个白色三角形的面积，
1
1
1
16
10
16
5
8
10
8
5
60
8.
某项工程，如果甲单独做，
12
天完成；如果乙单独做，
24
天完成；如果要求
10
天完成任务，并
且要求甲、乙两人合作的时间尽可能少，那么甲、乙合作
天．
【考点】应用题，工程问题
【难度】☆☆
【答案】
4
【分析】设工总
24
份，则甲每天做
2
份，乙每天做
1
份，尽量不合作的话则尽量让做得多的甲做，即
全程只有两种状态：甲做、甲乙合作，则甲
10
天都在做，共做
20
份，乙需要做
4
份，即合作
4
天
.
9.
将
8
个相同的球分给甲、
乙、
丙、
丁、
戊五个小朋友，
每人得到
1
个球或
2
个球，
那么共有
种
分法．
【考点】计数，排列组合
【难度】☆☆
【答案】
10
【分析】有
2
人得到
1
个球，
3
人得到
2
个球，
2
5
C
10
.
10.
将
5
个自然数排成一列，从第三个数开始，每个数等于前面两个数的和，那么这
5
个数中，最多
有
个质数．
【考点】数论，质数与合数，数论中的最值
【难度】☆☆☆
【答案】
4
【分析】注意到
2
、
3
、
5
、
8
、
13
中有
4
个质数，接下来论证不可能有
5
个质数
.
由于第三个数加第四个数等于第五个，这三个数不能都是奇数，必有一偶，这个偶数如果是
2
的
话则它前面的数必然不能都是质数，所以这
5
个数不可能都是质数
.
二、填空题
B
（本大题共
5
小题．每个小题
8
分，共
40
分）
11.
两位数
ab
比一位数
a
少
1
个约数，那么
ab
最大是
．
【考点】数论，数论中的最值
【难度】☆☆
【答案】
97
【分析】极端分析，
9
a
有三个因数，则
ab
有两个因数，只能是个质数，
97.
12.
将
10
个棱长为
1
厘米的立方体如下图摆放，
那么，
这个立体图形的表面积是
平方厘米．
【考点】几何，立体图形三视图
【难度】☆☆
【答案】
36
【分析】画出三视图，三个方向的面积都是
1
2
3
6
，
(6
6
6)
2
36
.
13.
甲乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，
相向而行．
出发时，
甲、
乙两车的速度之比是
5:
4
，
相遇后，
甲的速度增加
20%
，乙的速度增加
50%
，他们到达目的地后都立即返回，再次相遇的地点距离第
一次相遇地点
20
千米．那么，
A
、
B
两地的距离是
千米．
【考点】行程，比例法解行程，多次相遇
【难度】☆☆☆
【答案】
180
【分析】相遇后两人的速度比变为
[5
(1
20%)]:[4
(1
50%)]
6:
6
1:1
，将全程分为
9
份，则第一
次相遇两人共走
9
份，其中甲走了
5
份，第二次相遇两人共走
18
份，其中甲走了
9
份，即第二次
相遇时甲共走
5
9
14
份，两次相遇地点相距
1
份，所以全程距离为
2
90
180
千米
.
14.
有一个三位数
abc
，满足如下性质：由
a
、
b
、
c
所组成的没有重复数字的三位数中，最大的三位数
与最小的三位数之差恰好等于
abc
．那么，这个三位数
abc
是
．
【考点】数论，位值原理
【难度】☆☆☆☆
【答案】
495
【分析】如果
a
、
b
、
c
中没有
0
，设最大三位数
M
xyz
，则最小三位数
N
zyx
，
99(
)
M
N
x
z
，
即
99(
)
abc
x
z
是
99
的倍数，
注意其中
x
是
a
、
b
、
c
最大的一个，
而
z
是
a
、
b
、
c
中最小的一个，
枚举
99
的倍数，有
495
99
(9
4)
满足条件；
如果
a
、
b
、
c
中有一个
0
，设最大三位数
0
M
xy
，则最小三位数
0
N
y
x
，
99
90
M
N
x
y
，
即
99
90
abc
x
y
，注意其中
a
、
b
、
c
中有一个
0
，另外两个分别为
x
和
y
（
x
y
），通过枚举
x
来算出
c
，发现没有符合条件的三位数；
如果
a
、
b
、
c
中有一个
0
，则只能组成一个三位数，显然不满足条件
.
综上，只有一个三位数
495
满足条件
.
15.
将一张正方形纸片，按下图方式进行操作：将正方形的四个顶点向内折叠至正方形中心，然后将
新得到的图形的四个顶点再次向内折叠至中心．最后将纸片完全展开，原正方形四条边与所有折
痕所组成的新图形中，共有
个正方形
．．．
．
第二次向内折：
第一次向内折：
？
展开
【考点】计数，几何计数
【难度】☆☆☆☆
【答案】
11
【分析】展开后的图形如图所示：
计数其中正方形的个数，共有
11
个
.
第
II
卷（解答题
共
60
分）
三、解答题（本大题共
5
题
.
解答过程请写在答题纸上、试卷作答无效
）
16.
计算及解方程（每题
4
分、共
16
分）
：
（
1
）
3
3
4
3
4.4
16
2
4
8
15
（
2
）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
6
8
10
12
14
16
（
3
）
1
1
9
1
6
12
20
30
（
4
）
1
29
1
2
12
x
x
【考点】计算，分数计算，公式类计算，裂项计算，分数方程
【难度】☆☆
【答案】
30
、
816
、
1
2
、
5
x
【分析】（
1
）
3
3
4
15
15
32
3
4.4
16
2
(4.4
2)
6
6
24
6
30
4
8
15
4
4
5
（
2
）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
6
8
10
12
14
16
2
8
9
17
816
6
或
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
6
8
10
12
14
16
4
16
36
64
100
144
196
256
816
（
3
）
1
1
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
12
20
30
2
3
3
4
4
5
5
6
2
4
4
3
3
6
2
或
1
1
9
1
1
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
12
20
30
12
20
30
3
4
4
5
5
6
3
6
2
或
1
1
9
1
10
5
27
2
1
6
12
20
30
60
60
60
60
2
（
4
）
1
29
1
6(
1)
(29
)
12
7
35
5
2
12
x
x
x
x
x
x
17.
列方程（组）解应用题（
6
分）
小英的玩具个数是小丽的
5
倍，
如果小英把
6
个玩具送给小丽，
那么小丽的玩具个数就是小英的
2
倍了．请问：小英、小丽原来各有玩具多少个？
【考点】应用题，列方程（组）解应用题
【难度】☆☆
【答案】
10
、
2
【分析】标准格式如下
解：设小丽原有
x
个玩具，则小英原有
5
x
个玩具，
根据题意，得
6
2(5
6)
x
x
解得
2
x
5
5
2
1
0
x
答：小英原有
10
个玩具，小丽原有
2
个玩具
.
18.
如果一个数能被它前两位数字按序组成的两位数整除，
则称这个数为
“
好数
”
．
例如：
120
的前两位
数字按序组成的两位数是
12
，
120
能被
12
整除，所以
120
是
“
好数
”
．请问：
（
1
）四位数中，最小的
“
好数
”
是多少？（
4
分）
（
2
）若存在连续
98
个自然数都不是
“
好数
”
，那么这
98
个数中，最小的那个数最小可能是多少？
（
6
分）
【考点】数论，数论中的最值
【难度】☆☆☆
【答案】
1000
、
9901
【分析】（
1
）极端分析，
1000
能被
10
整除
.
（
2
）注意到
0
xy
、
00
xy
都是好数，所以这连续
98
个数至少是
4
位数，由于连续
n
个自然数中必
然有一个数能被
n
整除，
所以这些数的前两位不能是
10~98
，
所以最小的情况只可能是
9901~9998.
19.
请回答下列问题：
（
1
）是否能将
1
～
8
排成一个圈，使得相邻两个数字的和都是一位数？如果能，请写出一种，如
果不能，请说明理由．
（
3
分）
（
2
）请将
1
～
8
从左到右排成一行，使得相邻两个数字的和都是一位数．写出
1
种即可．
（
3
分）
（
3
）第
2
问中，将
1
～
8
从左到右排成一行，相邻两数字之和都是一位数，那么共有多少种不同
的排法？（
6
分）
【考点】组合，计数，构造与论证
【难度】☆☆☆
【答案】不能、
81634527
、
16
【分析】（
1
）不能，因为
8
要和两个数相邻，而
8
只有和
1
相邻才能得出一位数的和
.
（
2
）所有情况如下：
81634527
81635427
81453627
81543627
72634518
72635418
72453618
72543618
81726345
81726354
81724536
81725436
63452718
63542718
45362718
54362718
（
3
）
81
一定在一侧，即
81
（左右可颠倒，
2
种情况），剩余的
6
个格中，
7
一定在
最左或最右，且只能与
2
相邻，
2
种情况，剩余的
4
个格中，
6
一定在最左或最右，且只能与
3
相
邻，
2
种情况，最后
4
和
5
随意排，
2
种情况，共
2
2
2
2
16
种
.
20.
如图，大正方形格板是由
64
个
1
平方厘米的小正方形铺成的，
A
、
B
、
C
、
D
是其中四个格点．
AD
与
BC
相交于点
E
．
E
B
D
A
C
（
1
）三角形
ACD
的面积是多少平方厘米？（
4
分）
（
2
）在其它格点中标出一点
F
，使得三角形
ABF
的面积恰等于
2
平方厘米，这样的点
F
共有几
个？（
4
分）
（
3
）
:
CE
EB
是多少？（
4
分）
（
4
）三角形
ABE
的面积是多少平方厘米？（
4
分）
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