一、定义法
根据等比数列的定义,判断或是一个与无关的常数.
例1 如果是等差数列,则数列(为常数,且)一定是等比数列;如果是等比数列,且,则数列(为常数,,且)一定是等差数列,你能证明吗?
证明:若为等差数列,则有,并且(为常数),
(常数),
故数列为等比数列.
同理,为等比数列,且时,,(常数),
,
数列是公差为的等差数列.
二、等比中项法
对于各项均不为零的数列,若对于任意大于1的正整数都有,则可判定数列为等比数列.
例2 已知,其中依次成等差数列,且公差不为零,判断是否成等比数列?
解:设等差数列的公差为,则,,,
代入,
可得.
,.
又,故成等比数列.
三、通项公式法
为等比数列.
例3 已知是各项均为正数的等差数列,,,成等差数列,又,.判断是否为等比数列?
解:成等差数列,
,即.
又设等差数列的公差为,
则,即.
当时,是一个各项均为正数的常数列,
是等比数列;当时,,,
.
故是首项为,公比为的等比数列.
四、递推公式法
例4 根据如图所示的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.问:这个数列是等比数列吗?
分析:先求出前5项值,然后通过递推性质确定其通项公式.
解:若将打印出来的数依次记为(即),,,.
由图可知,,,,.
于是可得递推公式
由于,因此这个数列是等比数列,
其通项公式是.
五、前项和公式法
在数列中,前项和为,若,则为等比数列.
例5 已知数列的前项和为(是不为0的实数),则( )
A.一定是等比数列
B.一定是等差数列
C.是等差数列或是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
解:当时,的各项都为0,这个数列是等差数列,但不是等比数列;当时,由知,是等比数列,但不是等差数列,故先C.
六、反例法
若判断一个数列不是等比数列,则反例法显得更简单.
例6 设,是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.
解:设,的公比分别为.
为证不是等比数列只需证.
事实上,,
.
由于,,又不为零,因此,故不是等比数列.
注意:有些试题常常需要由一个特别说明一个命题是错误的,但应当注意一个特例不能说明命题是正确的.
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