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薛定谔方程——量子力学的基础,构成了当今最有效的物理宇宙理论

2022.06.03 江苏

量子世界是出了名的怪异。许多物理学家觉得,如果你不明白它有多奇怪,就根本不理解它。量子世界与人类能感知的世界是非常不同。例如,在这个世界里,光既是粒子又是波。在这个世界里,盒子里的猫可以同时处于生和死两种状态。

黑体辐射

一个黑体可以被建模成一个盒子,盒子的壁是完美的镜子。电磁辐射来回反射。当系统稳定到平衡状态时,盒子里的能量是如何分布的?1876年,玻尔兹曼证明了“均分定理”:能量相等地分配到运动的每个独立分量上,而这些分量的形式是波。

但这个答案有一个问题,那就是会导致紫外灾难。

尽管普朗克意识到了这个问题,但他并不在意,因为他根本就不相信均分定理。他通过实验观察能量如何依赖于频率,并得到一个数学公式。他试图让这个公式与经典热力学公式相一致,并认定黑体振动模式的能级不能像热力学假设的那样,形成连续体,而是离散的,由微小的间隙隔开。

现在我们知道,对于任何给定的频率,能量必须是频率的整数倍(乘以一个非常小的常数)。我们现在称这个数字为普朗克常数,用h来表示。

普朗克常数很小,如果给定频率的能级集合是离散的,那么总能量就会是有限的。这就意味着,在非常小的尺度上,世界必然是离散的。一开始普朗克并没有想到这一点:他把离散的能级看作是一种数学技巧,用来得到一个合理的公式。

波粒二象性

当爱因斯坦发挥他丰富的想象力时,一切都改变了,物理学进入了一个新的领域。1905年,就在爱因斯坦研究狭义相对论的同一年,他研究了光电效应。三年前,菲利普·勒纳德已经注意到,当光有更高的频率时,电子有更高的能量。但是,麦克斯韦充分证实的光的波动理论表明,电子的能量应该取决于光的强度,而不是光的频率。爱因斯坦意识到普朗克的量子理论可以解释这种差异。他认为,光不是波,而是由微小的粒子构成的,这些粒子现在被称为光子。在给定频率下,单个光子的能量,应该是频率乘以普朗克常数。

爱因斯坦的光电效应理论有一个明显的问题:它假设光是一种粒子。但是有大量的证据表明光是一种波。另一方面,光电效应与光作为波是不相容的。那么光到底是波还是粒子呢?

在一些实验中,光似乎表现得像波;而在另一些实验中,它表现得像粒子。当物理学家们开始研究微观尺度时,他们认为光并不是唯一具有这种双重性的东西。第一个意识到物质的二象性的人是维克多·德布罗意。德布罗意重新表述了普朗克定律,不是用能量,而是用动量,他认为粒子方向的动量和波方向的频率应该是相关的:把它们相乘,就得到了普朗克常数。三年后,德布罗意被证明是正确的,至少对电子来说是正确的。1988年,钠原子也被发现表现得像波。

薛定谔方程

物理学家设计出了几个直观的关于物质二象性的图像。一种是粒子是局部的波团,称为波包。这个包作为一个整体可以表现得像一个粒子,但是一些实验可以探测它内部的波结构。这一探索很快就有了成效,量子理论的核心方程式也随之出现了。

该方程就是著名的薛定谔方程。1927年,在其他几位物理学家,尤其是维尔纳·海森堡的基础上,他写下了任何量子波函数的微分方程,

其中,

是波的形式;

是一个叫作哈密顿算符的表达式,h是普朗克常数。i是虚数单位。薛定谔方程适用于在复数上定义的波。

经典的波动方程定义了空间中的波,其解是空间和时间的数值函数。薛定谔方程也是一样,但是波函数包含复数,而不仅仅是实数。i的出现是量子力学最神秘和最深刻的特征

对量子力学中虚数的的一种解释是,量子波是实波的连接对,就像两个海浪,一个高度是2,另一个高度是3,两个高度方向彼此成直角。但事实并不是那么简单,因为这两个波的形状不是固定的。随着时间的推移,它们在一系列的形状中循环,每个形状都神秘地联系在一起。

这有点像光波的电和磁成分,但电可以而且确实“旋转”成磁,反之亦然。这两个波是一个形状的两个面,它在复平面上围绕单位圆稳定地旋转。这个旋转形状的实部和虚部都以一种非常特殊的方式变化:它们以正弦变化的量组合在一起。在数学上,这导致了量子波函数具有一种特殊的相位。该相的物理解释类似于相在经典波动方程中的作用,但又有所不同。

还记得傅里叶变换是如何同时解热方程和波动方程的吗?一些特殊的解(傅里叶正弦和余弦),具有特别好的数学性质。所有其他解,无论多么复杂,都是这些基本模态(正弦和余弦)的叠加。我们可以用类似的方法来解薛定谔方程,但是现在的基本模态比正弦和余弦要复杂得多。它们被称为本征函数。本征函数不是空间和时间的一般函数,本征函数是只在空间上定义的函数,乘以一个只依赖于时间的函数。也就是说,空间和时间变量是可分离的。本征函数依赖于哈密顿算符,它是有关物理系统的数学描述。不同的系统有不同的哈密顿算符,因此有不同的本征函数

为了简单起见,考虑经典波动方程中的驻波,它的末端是固定的。在所有的时刻,弦的形状几乎是相同的,但是振幅被调制了:乘以一个随时间呈正弦变化的因子。量子波函数的复相位与之相似,但更难以想象。

对于任何一个单独的本征函数,量子相位的影响只是时间坐标的移动。对于几个特征函数的叠加,把波函数分解成这些分量,把每个分量分解成一个纯空间部分乘以一个纯时间部分,让时间部分在复平面上以适当的速度绕单位圆旋转,然后把这些部分重新相加。每个独立的本征函数都有一个复振幅,它以自己特定的频率进行调制。

这听起来可能很复杂,但如果不把波函数分解成本征函数,就会让人感到非常困惑。但在量子力学中,你不可能观察到整个波函数。在任何给定的情况下,你所能观察到的只是一个单分量本征函数。简单说,如果你试图同时测量这两个分量,其中一个分量的测量过程会干扰另一个。

哥本哈根解释

这引发了一个棘手的哲学问题。如果不能观察整个波函数,那它真的存在吗?它是一个真正的物理对象,还是只是一个数学虚构?有一种解释量子测量的方法,叫作哥本哈根解释

想象一个处于叠加态的量子系统,例如,一个电子的状态是自旋向上和自旋向下的叠加(自旋向上和自旋向下的含义并不重要)。当观察这个状态时,电子要么自旋向上,要么自旋向下,我们无法观察到电子的叠加状态。因为,一旦你观察到电子的其中一个状态(比如自旋向上),这个状态就成了电子的实际状态。观测(或测量)似乎迫使处于叠加状态的电子变成了一个特定的状态。

如果你观察到很多电子,有的自旋向上,有的自旋向下。那么你可以计算出电子处于其中一种状态的概率。所以波函数本身可以被解释为一种概率云。它并没有显示出电子的实际状态,它显示了当你测量它时,你得到一个特定结果的可能性有多大。但这只是一种统计模式,而不是真实存在的。它不能证明波函数是真实的。

哥本哈根的解释很直接,反映了实验中发生的情况,并没有对观察量子系统时发生的情况做出详细的假设。

1935年,薛定谔对哥本哈根解释感到担忧。在某种程度上,哥本哈根解释对电子和光子等量子系统是有效的。但这样的解释与现实世界似乎有所不同。薛定谔提出了一个思想实验,在这个实验中,量子粒子对猫产生了明显的影响。

想象有这样一个盒子,在它封闭的内部,所有量子相互作用都不能影响到盒子的状态。在盒子里放置一个放射性物质原子,一个辐射探测器,一瓶毒药和一只活猫。在某一时刻,放射性原子会衰变,并释放出辐射粒子。探测器会发现它并且毒药瓶会破裂,释放出里面的毒药,杀死猫。

在量子力学中,放射性原子的衰变是一个随机事件。从外面看,没有观测者能看出原子是否衰变了。根据哥本哈根的解释,在有人观察到原子(量子)之前,它处于两个量子态的叠加状态:衰变态和未衰变态。探测器、药瓶和猫的状态也是如此。所以猫处于两种状态的叠加状态:死和活。

因为盒子不受所有量子相互作用的影响,所以要想知道原子是否衰变并杀死猫,唯一的方法就是打开盒子。哥本哈根解释告诉我们,当我们打开盒子的时候,波函数坍缩,猫突然切换到一个确定的状态,要么死,要么活。然而,盒子的内部与外部世界并没有什么不同,在外部世界中,我们从来没有观察到一只处于叠加状态的猫。所以在我们打开盒子观察里面的东西之前,里面要么是死猫,要么是活猫。

薛定谔用这个思想实验去反驳哥本哈根解释。微观量子系统可以遵循叠加原理,但宏观系统不能。通过将微观系统(原子)与宏观系统(猫)联系起来,薛定谔指出了他认为的哥本哈根解释中的一个缺陷:不适用于宏观状态。

在量子理论的形式主义中,有充分的理由要求任何测量、任何“可观测”都是一个本征函数。哥本哈根解释说,测量过程以某种方式(不要问什么方式)将复杂的、叠加的波函数分解为单个分量的本征函数。如果薛定谔的方程允许波函数以这种方式表现,那一切都没问题,但事实并非如此。波函数的瞬间坍缩不可能从薛定谔的数学中出现。相反,哥本哈根解释是对该理论的一种补充。

如果构建世界的基本量子都能以叠加态存在,为什么宇宙看起来是经典的?许多物理学家进行了精彩的实验,证明电子和原子的行为确实与量子力学所说的一样。但重点是,理论家们想知道猫是否能观察到自己的状态。他们的结论与薛定谔的逻辑相同,如果猫观察到自己的状态,那么盒子里就包含了一只通过观察自己而自杀的死猫的叠加,还有一只观察到自己是活的猫,直到真正的观察者(一个物理学家)打开盒子。

测量过程并不是哥本哈根解释所假设的那种理想的操作。波函数坍塌为单个本征函数描述了测量过程的输入和输出。但是,当你进行真正的测量时,从量子的角度来看,你所要做的事情极其复杂,要对其进行逼真的建模显然是不可能的。例如,为了测量电子的自旋,让它与一个合适的设备相互作用,这个设备有一个指针,它可以移动到“上”或“下”的位置。这个设备产生一个状态,而且只有一个状态。你看不到指针上下叠加的位置。

我们已经习惯了,因为这就是经典世界的运作方式。经典世界的下面是一个量子世界。用旋转装置代替猫,它确实应该以叠加状态存在。这个被视为量子系统的装置非常复杂。它包含了无数的粒子。从某种程度上来说,这个测量结果来自于单个电子与这些无数粒子的相互作用。这使得我们很难使用薛定谔方程来分析一个真实的测量过程。

目前,我们对量子世界已有了一些了解·。让我们从一个简单的例子开始,一束光打在镜子上,在经典世界中,我们认为反射光线的角度与入射光线的角度相同。物理学家理查德·费曼在他关于量子电动力学的一书中解释说,这不是在量子世界中发生的事情。光线实际上是一束光子,每个光子可以到处反射。然而,如果叠加光子可能做的所有动作,就会得到斯涅尔定律。如果把一个光学系统的所有量子态叠加在一起,会得到经典的结果,光线沿着最短的路径走(用所花费的时间来衡量)。

这个例子非常明确地表明,所有可能(世界)的叠加——在这个光学框架中——产生了经典世界。最重要的特征并不是光线的几何细节,而是它在经典层面上只能产生一个世界。在单个光子的量子细节中,你可以观察到所有叠加的东西,如本征函数等等。但在人的尺度上,所有这些抵消了,产生了一个经典的世界。

这个解释的另一部分叫做退相干。我们知道量子波有相位,也有振幅。相位对于任何叠加都是至关重要的。如果取两个叠加态,改变其中一个的相,然后把它们加在一起,你得到的和原来的完全不同。如果对很多分量做同样的处理,重新组合的波几乎可以是任何东西。相位信息的丢失破坏了薛定谔的猫一样的叠加。你不仅看不清它是死是活,你还看不出它是只猫。当量子波不再有良好的相位关系时,它们开始变得更像经典物理,叠加失去了任何意义。使它们退相干的原因是与周围粒子的相互作用。这大概就是仪器测量电子自旋并得到一个特定的结果的原因。

这两种方法都得出了相同的结论:如果你以人类的视角观察一个包含无数粒子的非常复杂的量子系统,你会观察到经典物理。特殊的实验方法,特殊的设备,可能会保留一些量子效应,但当我们回到更大的尺度时,一般的量子系统很快就不会出现量子效应。

这是解释这只猫的命运的一种方法。只有当盒子完全不受量子退相干影响时,实验才能产生叠加的猫,而这样的盒子并不存在。

多世界解释

但还有另一种方法。1957年,休·埃弗雷特(Hugh Everett Jr)指出,建立一个精确的量子系统模型的唯一方法是考虑它的波函数。埃弗雷特把这个系统当成了整个宇宙。所有东西都与其他东西相互作用,只有宇宙才是真正孤立的。他发现,如果你迈出了这一步,那么猫的问题,以及量子和经典实相之间的矛盾关系,就很容易解决了。宇宙的量子波函数不是一个纯粹的本征函数,而是所有可能本征函数的叠加。虽然我们无法计算出这些东西,但我们可以对它们进行推理。实际上,从量子力学的角度来说,我们正在把宇宙描绘成一个宇宙所能做的所有可能的事情的组合。

结果是猫的波函数不需要坍缩就可以得到一个经典的观测结果。它可以完全保持不变,不违反薛定谔方程。相反,有两个共存的宇宙。在其中一个实验中,猫死了;在另一个实验中,它是活的。当你打开盒子时,相应的有两个你和两个盒子。一个独特的经典世界以某种方式从量子可能性的叠加中出现,取而代之的是一个广泛的经典世界,每个经典世界对应一个量子可能性。

这就是量子力学的多世界解释。很多物理学家接受了多世界的解释。薛定谔的猫真的是即是活的又是死的。这就是数学上的结果。这不是一种解释,不是一种的计算方式。它就像你和我一样真实,是你和我。

宇宙很可能是各种状态极其复杂的叠加。如果你认为量子力学基本上是对的,它一定是对的。1983年,物理学家斯蒂芬·霍金说,从这个意义上说,多世界解释是“自明无误的”。但这并不意味着存在一个叠加宇宙。霍金驳斥了多世界解释,他说:“人们所做的一切,实际上只是计算条件概率——换句话说,在给定B的情况下,A发生的概率。我认为这就是多世界的所有解释。”

量子力学的应用

量子力学并不局限于实验室。整个现代电子产品都依赖于它。半导体技术是所有集成电路的基础。如果没有量子物理学,没有人会想到这样的设备能够工作。电脑,手机,汽车,冰箱,烤箱,几乎所有的现代家用电器,都包含存储芯片。大多数存储芯片都是第一个半导体器件——晶体管的变体。

20世纪30年代,美国物理学家尤金·维格纳和弗雷德里克·塞茨分析了电子如何在晶体中运动,这是一个需要量子力学解决的问题。他们发现了半导体的一些基本特性。有些材料是电的导体。电子可以很容易地通过它们。金属是良导体。绝缘体不允许电子流动,所以它们阻止了电流的流动。而半导体两者兼而有之,这取决于具体情况。硅是最著名的,也是目前使用最广泛的半导体,但其他一些元素,如锑、砷、硼、碳、锗和硒也都是半导体。因为半导体可以从一种状态切换到另一种状态,它们可以用来操纵电流,这是所有电子电路的基础。

量子力学的另一个普遍应用是激光。这是一种能发射出强相干光束的装置。在这种装置中,光波都是彼此相一致的。它由两端各有一面镜子的光学腔组成,腔内填充的东西对特定波长的光产生反应,产生更多相同波长的光——光放大器。放大过程依赖于原子的量子力学。原子中的电子可以以不同的能态存在,它们可以通过吸收或发射光子在不同的能态之间切换。

目前,一些工程师和物理学家正在研究量子计算机。在量子计算机中,0和1的二进制状态可以以任何组合叠加。这将允许许多不同的计算并行执行,极大地提高它们的速度。理论算法已经被设计出来,用来完成诸如把一个数字分解成它的质因数这样的任务。量子计算的主要障碍是退相干,它破坏了叠加态。

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