​数学王朝—伯努利家族，塑造了数学史的进程，彻底改变了科学面貌

想象一下，在一个家庭聚会上，大家围坐在晚餐桌前讨论微积分的场景。这听起来可能很不寻常，直到了解到伯努利家族的传奇。这个家族被誉为数学界的王朝，他们对数学的深刻理解和贡献彻底改变了科学的面貌。这引发了一个思考：伯努利家族的显赫是否仅仅因为他们的天赋，还是他们恰好生活在一个数学迅速发展的黄金时代？这个家族诞生了至少八位著名的数学家，包括微积分、微分方程、概率论和流体力学等领域的先锋人物雅各布、约翰和丹尼尔·伯努利。接下来，将探索这个家族成员的人生和成就，以及他们是如何塑造数学和物理学早期发展的。

雅各布·伯努利（1654-1705）

在17世纪末，雅各布·伯努利作为伯努利家族中的一位杰出人物，以其对数学的深刻洞察而闻名。他首次向世界介绍了数学常数e，显示出他非凡的才智。雅各布的主要作品《猜想艺术》（Ars Conjectandi），彻底改变了概率论的研究方法，成为该领域的里程碑。

出生于一个经营香料生意并在巴塞尔担任市议员的家庭，雅各布最初在巴塞尔大学追求神学和哲学学位。然而，是对勒内·笛卡尔和布莱士·帕斯卡著作的阅读点燃了他对数学的热情。这种热情最终促使他在1687年成为巴塞尔大学的数学教授，期间他与当时的数学巨匠，包括戈特弗里德·莱布尼茨、克里斯蒂安·惠更斯和瓜利尔莫·德·洛皮塔尔等进行了深入的学术交流。

他最著名的工作是在概率论和组合学上，特别是他的书《猜想艺术》，这本书在他去世后的1713年出版。在这本书中，他引入了期望值的概念、大数定律、伯努利分布和伯努利试验。他还证明了二项式定理适用于任何有理指数，并导出了许多重要的公式和恒等式，涉及二项式系数，如帕斯卡三角形、范德蒙恒等式和楚-范德蒙恒等式。

雅各布·伯努利还对变分法（calculus of variations）做出了重要贡献。变分法是研究如何找到某些量的最大值或最小值的函数或形状的数学理论。他解决的第一个著名问题是最速降线问题，这个问题涉及找到两点之间在重力作用下物体下降路径的最快曲线。他还解决了等周问题，即寻找给定长度围成的最大面积曲线的问题。他为自己的名字所代表的“8”字形曲线命名为“lemniscate”，并研究了其性质。

雅各布曾说，

我凭爪子认出了狮子。

I recognize the lion by his paw.

我们通常通过智力的表现来识别一个人的天赋，但是对于雅各布·伯努利来说，人们可能会质疑他的成就是真正的天才还是仅因为他投身于数学这一当时正处于兴起阶段的领域。雅各布在1705年逝世，时年50岁，死因是肺结核。他安葬在巴塞尔大教堂的回廊里，墓志铭上刻着“Eadem mutata resurgo”，意为“虽经改变，我依旧如故地复苏”。他的墓碑上刻有一个lemniscate符号，作为对他在数学领域成就的象征。

• 雅各布和约翰·伯努利在讨论数学

约翰·伯努利（1667–1748）

约翰·伯努利，雅各布的弟弟，是一个在家族中才华显赫的人物的典范。尽管他开始时似乎处在兄长辉煌成就的阴影之下，约翰却在数学，尤其是微积分领域，展现了自己的天赋和创新能力。他的个性中蕴含着挑战精神，甚至勇于通过书信向数学巨人莱布尼茨提出挑战。

成为伯努利家族中一名极具成就的成员，约翰不仅在巴塞尔大学继承了兄长的数学教授职位，还曾在格罗宁根大学、巴黎科学院和圣彼得堡帝国科学院担任重要职务。他与莱布尼茨的紧密合作及与艾萨克·牛顿的竞争。

约翰·伯努利在微积分的早期发展中扮演了核心角色，他的微积分知识主要来源于莱布尼茨。他成功地将微积分的原理应用于广泛的领域，比如分析粒子的运动、研究钟摆的摆动、探究悬挂链条的行为，以及理解光线如何弯曲。约翰在数学的若干关键领域展示了深厚的专业知识，特别是在处理变量分离、运用指数函数的微积分方法，以及应用有限差分法方面具有高超的技巧。

他的一项重要成就是发现了微积分中的一个基础概念——微积分的基本定理，这一定理揭示了积分与导数之间的直接联系，即一个函数的积分过程可以通过其导数来反向操作。

约翰·伯努利还在变分法方面做出了贡献，与他的兄弟雅各布一起。他独立解决了最速降线问题，并提出并解决了等时问题，该问题寻找一个特殊的曲线使得粒子从任何初始位置落到最低点所需的时间都相同。他还引入了欧拉-拉格朗日方程，这是寻找方程极值的主要工具。

约翰不仅仅关注微积分。他还涉猎数论、几何学、代数和分析。他证明了e是无理数，发明了极坐标，并用它们来研究固定在旋转臂上的点的运动生成的曲线。他还引入了曲线族的包络概念，以及曲线的外曲率线和内曲率线。

约翰也是一位著名的导师。他指导了下一代数学天才，如莱昂哈德·欧拉、让·勒·朗·达朗贝尔、皮埃尔·路易·莫珀图伊和约瑟夫·路易·拉格朗日。更不用说他的儿子们，丹尼尔和约翰二世，他们也继承了数学的才华。

约翰·伯努利于1748年去世，享年80岁。他的墓志铭写道：“阿基米德、牛顿和他”（Archimedes, Newton, et ille）。

丹尼尔·伯努利（1700-1782）

提起丹尼尔·伯努利，我们立刻会想到那位因阐述流体中速度与压力关系的伯努利原理而著名的科学家。他对流体动力学的贡献极具开创性，但这是否意味着他仅仅是继承了先前伟人和家族的智慧呢？实际上，丹尼尔的成就并非孤立事件，而是伯努利家族对数学和科学长期投入和热情的自然延续。他的作品《流体动力学》不只是个人才华的展现，更是其家族对科学探索热情的集大成者。

丹尼尔·伯努利是一位以流体动力学和概率论工作而闻名的数学家和物理学家。他在巴塞尔大学学习医学和数学，并于1721年获得博士学位。他还旅行到意大利、法国和俄罗斯，在那里他会见并与许多著名科学家合作，如莱昂哈德·欧拉、亚历西斯·克莱劳特和克里斯蒂安·戈尔德巴赫。1725年，他获得了圣彼得堡大学数学教授的职位，到了1733年，他作为巴塞尔大学的教授深入研究解剖学和植物学。

丹尼尔最著名的著作是1738年出版的《流体动力学》（Hydrodynamica）。在这本书中，他将能量和动量守恒原理应用于流体流动，并推导出以他的名字命名的伯努利方程，该方程关联了流体在管道或渠道中的压力、速度和高度。

他还解释了文丘里效应的现象，即流体通过管道狭窄部分时压力降低而速度增加。他还研究了人体内血液的流动，以及空气阻力对弹丸运动的影响。

他还对概率论和统计学理论做出了重要贡献，特别是在将数学应用于社会和自然科学方面。他发展了期望效用的概念，这是基于其发生概率和其结果的效用来衡量风险结果价值的一种度量。他使用这一概念来解决圣彼得堡悖论（由他的表兄尼古拉斯·伯努利发明），这是一个涉及期望值无限但期望效用有限的游戏问题。他还引入了标准差的概念，这是一组数据围绕其平均值的分散程度的度量。

• [左]丹尼尔·伯努利的肖像，创作于18世纪20年代早期。由巴塞尔历史博物馆提供。[右]丹尼尔的流体力学(1738年)

丹尼尔于1782年去世，享年82岁。他被埋葬在巴塞尔大教堂的回廊中，靠近他的父亲和叔叔。他的墓志铭写道：“他是伯努利家族中最伟大的”（Ille fuit maximus Bernoulliorum）。

伯努利家族的其他成员

尼古拉斯·伯努利是伯努利家族中一位有时被遗漏的显著人物，尽管如此，他在概率论和统计学上的工作却极为关键。他与皮埃尔·雷蒙德·德·蒙特莫特就概率问题进行的深入交流，不应被视作普通的学术对话，而是类似于一场充满智慧的较量。

随着18世纪时间的流逝，伯努利家族在数学领域的影响力并未减弱。家族中出现了如约翰二世、丹尼尔二世、约翰三世等后继成员，他们继续保持着家族在数学上的活跃状态，仿佛是对先辈成就的一系列续作。然而，存在一个关键的探讨点：这些后继者是在开辟新的数学领域和理论，展现出真正的创新，还是只是在现有的知识基础上做出一些小的调整和补充，即重复前人的工作而没有显著的新进展？

归根结底，伯努利家族无论是因为其非凡的才华还是因为其所处的有利环境，都在科学领域留下了深刻的影响。他们留给世界的不只是一系列数学公式和物理定律；更重要的是，他们展示了对卓越成就的渴望、在科学探索过程中的相互竞争，以及对于知识不断探求的执着。这种对知识探索的持续追求和对卓越的不懈努力，可能才是构成伯努利家族传奇真正精髓的元素。