数学中最大的谜团之一—素数分布，从狄利克雷定理到广义黎曼假设

在数论的广阔领域中，素数的分布一直是一个引人入胜的谜题，无数的数学家投入了巨大的热情和智慧去探索这个问题。特别地，对于特定形式的算术数列中素数的分布，学界已经取得了一系列的重大进展。我们将从基本的素数计数函数π(x)讲起，逐步深入到狄利克雷定理和狄利克雷L-函数，探索它们如何帮助我们理解并估计这类素数的分布规律。

对于直到x为止的素数的个数，这个数作为x的函数就记为

有了好的估计以后，就可以再来求mod q同余于a的素数的个数。实际上，求π(x)也就可以说是求mod 1同余于1的素数个数。把这个量记为

首先注意到，mod 4同余于2的素数只有一个，而事实是，如果a和q有大于1的公因子，则在算术数列a，a+q，a+2q，…中最多只有一个素数。用φ(q)来记在1≤a≤q中适合条件(a，q)=1的整数a的个数。

这里记号(a,q)表示a和q的最大公因子(gcd))

这时，在无穷多的素数中，除了很少的有限多个以外，一定都属于φ(q)个算术数列a，a+q，a+2q，…之一，这里1≤a≤q，而且(a,q)=1。计算显示了素数似乎是平均地分布在这φ(q)个算术数列中，所以可以猜想，在每一个这样的算术数列中，素数所占的比例极限是1/φ(q)。这就是说，只要(a,q)=1，就可以猜想，当x→∞时，

• (1)

但是，甚至mod q同余于a的素数有无限多个也不是显然的，著名的狄利克雷素数定理告诉我们这种素数有无穷多个，就是说，当(a,q)=1时，在算术数列a，a+q，a+2q，…中包含了无穷多个素数。要开始研究这种问题，首先需要一种有系统的方法在确定一个整数是否mod q同余于a的，为此，狄利克雷提供了一种现在通称为狄利克雷特征的函数。形式地说，一个mod q的特征，就是一个由Z到C的函数，

它具有以下三个性质，而这三个性质的重要性是逐渐递增的：

1. 当n和q有大于1的公因子时，χ(n)=0；
2. χ mod q是周期的；
3. χ是乘法的，即对任意的整数m和n，x(mn)=x(m)x(n))。

mod q的特征的一个容易但又重要的例子是这样一个函数χ(n)：当(n,q)=1时，它的值为1，否则为0。这个特征称为主特征（principal character）记作χ_g。如果q是一个素数，则另一个这样的例子是勒让德符号

如果n是q的倍数，就令

如果n是q的平方剩余，就令它为1；而如果n是q的平方非剩余，就令它为-1。

一个整数n称为mod q平方剩余，就是指nmod q同余于一个完全平方，否则就称它为平方非剩余。

如果q是一个合数，则有一个称为勒让德-雅可比符号的函数，作为勒让德符号的推广，也是一个特征。这也是一个重要的例子，它以一个不太直接的方式帮助我们识别出mod q的平方数。

这些特征都是实值的，但是这只是特例而非通则。下面是q=5时一个真正复值的特征的例子。令

如果n≡0(mod 5)，等于i如果n≡2(mod 5)，等于-1如果n≡4(mod 5)，等于-i如果n≡3(mod 5)，等于1如果n≡1(mod 5)。为了看出它是一个特征，只要注意到2(mod 5)的各次幂分别是2，4，3，1，2，4，3，1，…，而i的各次幂分别是i，-1，-i，1，i，-1，-i，1，….

可以证明，只有恰好Φ(q)个不同的mod q的特征。它们对于我们的用处来自上面说的它们的限制，以及以下的公式，其中是对所有的mod q的特征求和，而且

这个公式能为我们做些什么？理解mod q同余于a的整数的集合，就是理解了一个当n≡a(mod q)时为1而其他时候为0的函数，上式右方就是这个函数。然而这个函数用起来并不是特别好用，而特征是好用得多的函数，因为它们具有乘法性质。所以我们通过上式的左方把右方的函数写成特征的线性组合。这个线性组合中，相应于特征χ(n)的系数就是

由这个公式就可以得到

左方的和数就是我们早前考虑所有素数时和数的自然的修正。如果对于其右方每一个和式

都能得到一个好的估计，就能够估计此式的右方了。我们处理这些和式的办法很像以前的做法，这样得到类似于下面的显式的公式，

不过其中出现的不再是黎曼ζ(s)的零点，而是狄利克雷L函数

的零点。这个函数的性质很像ζ(s)。特别是χ的乘法性质在这里特别重要，因为它将给出类似于

的公式：

就是说狄利克雷L函数L(s,χ)也有一个欧拉乘积。我们也相信“广义黎曼假设”成立，即L(ρ,χ)=0在临界带形中的零点p都适合条件Re(ρ)=1/2。这将蕴含着对于直到x为止的mod q同余于a的素数的个数可以估计如下：

所以，蕴含着我们希望得到的估计，只要x稍大于q²即可。

在什么样的范围内可以无条件地——即不必借助广义黎曼假设——证明(1)式？虽然可以或多或少地把素数定理的证明翻译到这个背景下来，我们发现，它只对于很大的x给出(1)式。事实上，x需要大于一个以q为幂的指数，这就比从广义黎曼假设得出的“只要x稍大于q²”要大得多。我们就看见，在这里出现了一种新类型的问题，就是要找到可以得出好的估计的x的范围的一个好的起点，这个起点应是模q的函数。在我们对于素数定理的探求中没有这样的类似物。

顺便说一下，哪怕只是证明“只要x稍大于q²”即可得出(1)式，也远非当前的数学方法之所能及，何况这也似乎还不是最好的答案。计算揭示了只要x稍大于q，(1)式就可能成立。所以，想要告诉我们素数分布的精确的性态，甚至黎曼假设及其推广也还是力所不逮。

在整个20世纪中，花了大量的思索想把狄利克雷L函数的零点约束在Re(s)=1的附近。结果是对于确定能使(1)式成立的x的范围，有了很大的改进，条件是没有西格尔零点在。对于以

为特征χ的L函数

这个假想的零点将是一个实数β，而且β>1-c/√q。可以证明，这种西格尔零点哪怕是存在的，也是极为罕见的。

西格尔零点的罕见是Deuring-Heilbronn现象的推论，这个现象就是：L函数的零点，犹如赋有同号电荷的粒子，是互相排斥的，这个现象也类似于不同的代数数互相排斥这个事实，这是丢番图逼近这个学科的基础的一部分。

当(a,q)=1时，最小的mod q同余于a的素数有多大？尽管有可能有西格尔零点存在，我们仍然可以证明，如果q充分大，则一定有小于q^5.5的这样一个素数存在。如果没有西格尔零点存在，要得到这样一个结果并不太难。如果没有西格尔零点存在，就又回到了类似于下面的显式公式，

但是是关于L(s,χ)的零点的。如果β是一个西格尔零点，则在这个显式公式中，有两个明显的大项：

和

当

时，看来它们几乎可能相抵消（因为β接近于1），但是如果我们仔细一点，就会得到

这是一个比以前小的主项，但是不难证明，它的贡献仍然比所有其他零点合起来的贡献更大，因为Deuring-Heilbronn现象蕴含着这个西格尔零点会排斥其他零点，把它们驱向左方的远处，如果

仍是这两项告诉我们，如果(1-β)logx很小，则直到x处，就会有两倍我们所希望的素数mod q同余于a。

狄利克雷的类数公式指出，当q>6时，

类数总是一个正整数，这就蕴含了

另一个推论是当且仅当

h_-q才很小。这会给予我们关于西格尔零点的信息，因为可以证明

这蕴含了当且仅当

即西格尔零点β时，

当h_-q=1时，这种联系更加直接，可以证明西格尔零点β近似于

这些联系说明，得出h_-q的好的下界，等价于得出西格尔零点的范围的好的界限。西格尔证明了对于任意的ε>0，必存在一个常数

使得

他的证明不能令人满意，因为这个证明的本性给不出

的显式的值来。为什么？因为他的证明分成两个部分，第一部分假设广义黎曼假设成立，这时一个显式的值很容易得出。第二部分用广义黎曼假设的第一个反例得出了一个下界。所以，如果广义黎曼假设是成立的，[则不能用第二部分]，但是它还没有得到证明，[所以也不能用第一部分]，这样，西格尔的证明就不能用来探求显式的界限了。可以用显式的东西来证明的和不能用显式的东西来证明的，在解析数论中，二者之间形成了一个既宽又深的鸿沟，这种鸿沟的出现，总是来自应用西格尔的结果。

一个整系数多项式在以整数值代入以后不能总是取素数值。为了看到这一点，注意如果p可以整除f(m)，则它也可以整除f(m+p)，f(m+2p)，….然而有许多富于素数值的多项式，一个著名的例子是，

当x=0，1，2，…，39时，它的值都是素数。几乎肯定还有一些二次多项式，能够相继地取更多的素数值，虽然它的系数应该是很大的。如果我们要问一个比较受限制的问题，即何时多项式

对于x=0，1，2，…，p-2都取素数值，则Rabinowitch给出了惊人的答案：当且仅当h_-q=1时会是这样，这里q=4p-1。高斯做过大量的关于类数的计算，而且预言只有9个q值使得h_-q=1，其中最大的是163=4×41-1。在1930年代，研究者们利用Deuring-Heilbronn现象证明了最多还有一个q虽然使h_-q=1，却不在高斯的清单上；而正如这种方法通常会出现的那样，对于这个假定存在的额外的反例q的大小，却得不出其界限。直到1960年代，Baker和Stark才证明了这第10个q不存在，他们所用的方法都与这里所讲的方法相距甚远

事实上，Heegner在1950年代给出了正确的证明，但是他走在时代前面这么远，使得数学家们很难领会他的论证，并相信其所有细节都是对的。

在1980年代，Goldfeld，Gross和Zagier给出了迄今最好的结果，证明了

这一次用的是另一种L函数的零点排斥

的零点的Deuring-Heilbronn现象。

除了极少有的模q以外，素数很好地分布在算术数列中，Bombieri和维诺格拉多夫开发了这个思想而证明了当x略大于q²时（就是在我们“总能”从广义黎曼假设得出的范围内），（1）式“几乎总能”成立，更精确地说，对于给定的大的x，上式对于“几乎所有”小于

以及所有适合(a,q)=1的a总是成立的。所以，不能排除有无穷多个反例的可能性。但是因为这与广义黎曼假设矛盾，我们不相信会是这样。

Barban-Davenport-Haberstam定理给出了一个较弱的结果，但是这个结果对所有的可行的范围都成立：对任意给定的大的x，对“几乎所有”的对子q和a，只要q≤x/(logx)²和(a,q)=1，估计式(1)恒成立。