这就是整个事情开始的方式。一百多年来,来自世界各地的数学天才就像侦探一样试图破解这个数学之谜——卡塔兰猜想。他们尝试了每一个技巧,以证明它是对还是错。一路上,一些人取得了一些真正的进展,解决了某些案例,并提出了各种巧妙的方法。但是,关键点在于——他们还没能完全拼凑出整个谜题。接着,让我们介绍Paul Wolfskehl,一位德国数学大师。他对整个卡塔兰猜想非常投入,以至于他在遗嘱中悬赏一大笔现金奖励给能最终解决这个问题的人。现在,尽管没有人最终获得那个奖金,但这确实激发了每个人对这个问题的热情。Wolfskehl的提议在数学界点燃了火花,推动他们全力以赴地追求破解这个谜题。快进到1985年,Robert Tijdeman和Maurice Mignotte,两位数学奇才,各自工作却意外中了头彩——他们破解了所谓的A方程的密码。他们的发现是巨大的——证明了对于任意给定的指数a和b,这个方程式只有有限的解。这就像在数学世界中发现了一个隐藏的宝藏。现在,他们并没有解决卡塔兰猜想的整个谜团,但这个发现,被称为Tijdeman-Zagier定理,是向前迈出的一大步。它让我们窥见了方程的内部运作,使我们走上了更好地理解它的道路。2002年,罗马尼亚数学家Preda Mihăilescu通过借鉴之前众多数学家的贡献,实现了一个突破,证明了这个猜想。他的革命性证明在一篇题为“Primary Cyclotomic Units and the Confirmation of Catalan’s Conjecture”的论文中被提出。Mihăilescu的方法论融合了几个关键概念和方法论。其中,分圆域理论扮演了中心角色。这些域是有理数域通过添加单位根而获得的扩展。具体来说,Mihăilescu利用了分圆单位的特性和分圆域中固有的伽罗瓦模结构来审视A方程。伽罗瓦模是一种数学结构,它由一个模构成,该模受到定义在某个域扩展上的伽罗瓦群的作用。简单地说,这意味着我们有一个模(可以理解为某种数学对象的集合),并且这个模被一个伽罗瓦群通过特定的方式操作或变换。伽罗瓦表示是这种结构的一个特例,其中模不仅仅是任意的模,而是一个向量空间或者更一般的,一个在某个域或环上的自由模,这在表示论中很重要。尽管“伽罗瓦表示”这个术语常用于描述这种情形,但它也可以与“G-模”这个术语互换使用,后者更侧重于模的基本代数结构以及它如何与伽罗瓦群的动作相互作用。Preda Mihăilescu证明中的Wieferich素数和模形式(Modular Forms)证明的另一个关键部分集中在研究Wieferich素数上。Preda Mihailescu在2002年4月18日完成了他的证明,首先展示了除了对(p,q) = (2,3)之外的任何解,必须满足这两个条件: