广义相对论是物理学中一个非常高级和复杂的领域，要真正理解它，需要非常深厚的数学背景。广义相对论涉及的几何学非常复杂，需要掌握大量的数学知识和技巧。
“弯曲时空（Curved Spacetime）”是一个让人们感到困惑的概念，但在一维和二维空间中，“曲率”和“弯曲性”是非常基本、直观的概念。它们甚至可能深深地植入我们的思维中，因为对于像我们这样的有视觉的生物来说，弯曲和直线是边界识别的关键概念。在现代的世界里，钟、球、裙子和泡泡的弯曲几何形状，对每个四岁以上的孩子来说都是直观的。
当数学家关注日常概念时，他们试图将这些概念扩展到我们所熟悉的范围之外。数学是一门研究规律和抽象概念之间关系的科学。当数学家对这些我们认为理所当然的概念进行深入的提炼和抽象，再尽可能地拓展它们时，最终得到的结果可能会与我们原先的理解大相径庭，显得非常陌生和不同。
当我们听到“曲率”这个词时，我们会期望它与我们已经熟悉的、可以直观感受到的东西有关。然而，当我们试图将这个概念应用到更高维度的空间中时，我们的直观感受就会失效，因为我们无法直接在心里想象出四维或更高维度空间的曲率。
在日常语言中，“弯曲”通常是指与“平坦”相对的状态。当我们说一个物体或空间是“弯曲”的时候，我们通常是在说它不是平坦的。而在数学中，特别是在几何学中，“平坦几何”有一个更具体的含义。它指的是遵循欧几里得公理体系的几何学，即欧几里得几何学。在这个体系中，平行线永远不会相交，两条线段的最短距离是一条直线，以及其他一些基本假设。因此，对于数学家来说，当他们说一个几何空间是“平坦”的时候，他们的意思是这个空间遵循欧几里得几何学的规则。
数学史上摆脱欧几里得几何学的发展过程非常有趣且富有成果，尤其是在十九世纪。在那个时期，数学家开始探索欧几里得几何学之外的几何体系，如非欧几里得几何学（包括双曲几何和椭圆几何）。进入二十一世纪，现代几何学继续是一个充满活力的研究领域。数学家们不断提出新的猜想，探索更加抽象的几何概念，例如拓扑几何、代数几何和微分几何等。
不要试图想象它
当我们想要理解二维曲面（如球面或圆柱面）的曲率时，一种直观的方法是观察这个曲面如何从一个平面（二维空间）弯曲进入到第三维度空间。换句话说，我们考虑曲面在垂直于原始平面方向上的弯曲程度。例如，球面的曲率在各个点都是相同的，因为无论从哪个方向观察，它都以相同的方式弯曲；而圆柱面在沿着圆柱轴线的方向上是平直的（没有曲率），但在垂直于轴线的方向上是弯曲的。通过考虑这种从平面到第三维度的弯曲程度，我们可以更好地理解二维曲面的曲率特性。
在三维及以上维数的流形中，我认为思考曲率的方式是放弃“弯曲性”和“弯曲”的概念。我们根本无法想象三维空间的弯曲意味着什么，或者四维时空的弯曲意味着什么，所以我们必须转向更强大、更抽象的概念。
相反，考虑那些偏离或不符合欧几里得几何公理的几何结构，能够提供更多的灵活性和有效性。在现代微分几何学中，这种偏离欧几里得几何的性质可以通过两个数学工具来量化，这两个工具就是张量：黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）和扭曲张量（Torsion）。
球面上矢量绕闭环（从A到N再到B再回到A）的平行移动。它旋转的角度与环内的面积成正比。
此外，我们可以利用平行移动（parallel transport）的概念的模糊性（比较附近的切空间，以便我们可以进行微积分）来简化问题：根据伪黎曼几何的基本定理，我们可以通过选择消除扭曲的定义来唯一地定义平行移动，从而使曲率张量（黎曼张量）成为了描述几何空间偏离欧几里得公理的唯一和完整的工具。特别是，黎曼张量可以量化空间偏离欧几里得几何中的第五个公设——平行公设的程度。
在欧几里得几何中，平行公设指的是通过给定点有且只有一条直线平行于给定直线。在非欧几里得几何中，这个公设不再成立，黎曼张量就是用来描述这种偏离的量化工具。
曲率张量是一种数学工具，用于衡量空间中协变导数（一种考虑了空间曲率的导数）的不可交换性。在平坦的欧几里得空间中，协变导数是可交换的，这意味着两个方向的导数的顺序可以互换而不改变结果。然而，在弯曲的空间中，这种交换性通常不成立，曲率张量就是用来描述这种不可交换性的程度。
因此，曲率张量可以被看作是一个衡量空间弯曲程度的量化工具。如果一个空间的曲率张量处处为零，那么这个空间就是平坦的，可以与欧几里得空间建立等距映射（一种保持距离不变的映射）。如果曲率张量不为零，那么就不存在这样的等距映射，曲率张量就成为了存在等距映射的一个障碍，也就是说，它阻碍了空间与欧几里得空间之间的完美对应。这种可积性障碍是指在弯曲空间中，无法像在平坦空间中那样自由地进行积分和微分操作。
起源：二维曲面几何
曲率张量的概念背后有一个有趣的历史。它始于二维曲面的曲率，其中十九世纪的几何学家认为二维曲面嵌入在三维和更高维度的空间中。曲率是根据密切曲面的圆的曲率来定义的。如果你不知道什么是密切圆（osculating circle），参考下面的动图
在曲面上的任意给定点，首先找到单位法向量，然后构造一个与曲面垂直相交的平面。这个平面可以朝任何方向，然后在这个平面上绘制一个与曲面相切的圆，即圆在接触点的曲率半径与曲面在该点的曲率半径相同。当这个切割平面围绕单位法向量旋转时，切圆的半径的倒数，即曲率，在最大值和最小值之间平滑变化——这两个极值是主曲率。
注意，在鞍点上方有切割平面，在这种情况下与主曲率平面呈45度角，这些是无限长的等高线，即曲率精确地为零。这些直线等高线是切平面与鞍面的交线，其他等高线是双曲线；
鞍点是曲面上的一个点，在这个点上，曲面在一个方向上是凸起的（正曲率），而在另一个垂直方向上是凹陷的（负曲率）。这种形状类似于马鞍，因此得名鞍点。
在鞍点上方，可以构造一个切割平面，使其与曲面的两个主曲率平面呈45度角。在这个特定的角度，切割平面与曲面的交线（等高线）是直线，而不是曲线。
这些直线等高线表示曲面在这些方向上的曲率为零，即曲面在这些方向上是平坦的。这与鞍点的特性一致，即在某些方向上曲率为正，在垂直方向上曲率为负。
除了直线等高线之外，鞍点附近的其他等高线通常是双曲线形状，这反映了曲面在这些方向上的曲率变化。
下面的图应该使这一点更清楚：
对于这个鞍形，最大和最小曲率的大小相同但符号相反。但在不对称的鞍形中，其他角度是可能的，具有不同大小的最小和最大曲率。
所以这是起点，十九世纪几何学家对曲率的概念——这一切都与嵌入和曲面与其所在的三维空间之间的关系有关，这种关系通过密切圆的概念体现。
因此，我们可以看出为什么高斯在发现两个主曲率的乘积（我们现在称之为高斯曲率）是曲面的内在属性时，他会惊呼“Theorema Egregium！”（“杰出的定理”）。这个曲率可以从一个叫做度规张量的量中计算出来，而不需要参考任何嵌入。用技术术语来说：高斯曲率对于曲面的任何等距变换是不变的，例如，两个外观非常不同的旋转面和螺旋面之间的著名等距变换。它完全独立于任何嵌入概念。下面的动图说明了这种等价性，我觉得这很迷人：
欧几里得的教条及其最终的倒塌
"Theorema Egregium"在很多方面都远远超越了它的时代，它理解了关于曲面几何的一些真正意想不到的东西。
与此同时，数学家雅诺什·博利亚伊和尼古拉·洛巴切夫斯基分别独立地证明了欧几里得的第五公设（平行公设）在逻辑上独立于其他四个公设。他们通过构造满足欧几里得前四个公设但不满足第五个公设的几何模型来证明这一点。这些模型构成了双曲几何的基础，这是一种与欧几里得几何不同的几何体系。双曲几何的典型实现包括庞加莱圆盘和庞加莱双曲半平面。
几个世纪以来，人们一直猜测欧几里得的第五公设可以推导出来，因此不独立于其他四个。关于第五公设的“证明”有着悠久的历史，“从欧几里得的其他公理中推导出来”。博利亚伊和洛巴切夫斯基改变了一切。两千年的教条化思想化为废墟，因此他们的壮举既需要勇气也需要智慧。
现代黎曼曲率概念
我们可以回顾性地看到从高斯、洛巴切夫斯基和博利亚伊开始的历史到广义相对论之间的一条清晰路径。
黎曼几何的研究通过里奇微积分和张量分析的发现（黎曼是高斯的学生，他发展了非欧几里得几何的思想）得到了系统化，这引导我们到了黎曼几何的基本定理和对曲率张量作为偏离欧几里得第五公设的量化的严格采用。
其中一个概念是作为测地线偏差的度量。在几何学中，测地线是空间中两点之间最短路径的推广。在曲面或曲率空间中，测地线可能不是直线。测地线偏差是一种度量，用来描述两条相邻测地线之间的分离程度随着它们前进的变化。
测地线偏差直接挑战了欧几里得第五公设，因为在非欧几里得几何中（如双曲几何），可以有多条通过给定点的测地线与给定的测地线不相交。
最后，在爱因斯坦的广义相对论之后，Ambrose-Singer定理表明，曲率，因此欧几里得几何的完全量化可以通过Holonomy的概念来确定——即测试向量在绕环路“平行移动”时的变化。这一点很重要，因为黎曼几何和里奇微积分将曲率视为方向协变导数之间的换位子。
Holonomy就是测试向量在绕环路平行移动并与移动前的自身进行比较时，与起点的偏离程度。我喜欢将黎曼曲率张量看作是一个矩阵（变换）值函数R(X,Y)，它是两个向量X和Y的函数，这两个向量定义了一个无穷小的平行四边形环路。变换将第三个向量Z映射到它在绕小环路平行移动时所经历的变化，如下图所示。
偏差与 X 和 Y 定义的平行四边形所围成的环路面积成正比。黎曼张量接受两个向量 X 和 Y，并输出一个变换 R(X,Y)。然后，将此变换施加到 Z 上，以计算 Z 由于绕环路平行移动而引起的变化。用符号表示，变换可以写成一阶形式
一个空间是欧几里得空间当且仅当这个变换是恒等变换，即当且仅当向量在绕任何可能的环路平行移动时不发生变化。因此，变化的大小精确量化了空间的非欧几里得性。证明度量在开邻域 P 内定义了一个平坦空间当且仅当黎曼张量 R 在这个邻域内处处消失，这个证明非常简单，提供了深刻的洞察。
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