背景

1905年，阿尔伯特·爱因斯坦假设物理定律对于所有的惯性观察者来说都是相似的，并且真空中的光速与观察者的运动无关。这就是著名的狭义相对论。它为所有物理学引入了一个新的维度，并提出了关于空间和时间的新概念。事实上，它是现代物理学基础的一部分。

十年后，也就是1915年，他成功地将加速度纳入了之前的理论，并发表了他的新理论，即广义相对论。根据这一理论，物质和能量使空间和时间弯曲，因此，在大质量物体附近运动的物体看起来会沿着弯曲的路径运动。我们称之为引力效应。

在20世纪70年代早期，霍金证明了如果考虑量子效应，黑洞可以辐射。这是一个重要的发现，因为从经典意义上讲，没有任何东西可以从黑洞中逃脱，即使是光也不行。这表明黑洞有一个明确的温度。对于经典系统来说，为黑洞定义温度是不现实的因为任何东西都不可能与黑洞处于热平衡状态。

黑洞热力学定律由此诞生。故事始于雅各布·贝肯斯坦，他推导出了一个描述黑洞熵的方程。黑洞的熵被定义为坠入黑洞的所有物质的量子信息量。奇怪的是，这与黑洞的表面积成正比，而不是它的体积。霍金通过计算黑洞辐射时泄露的信息量证实了这一点。

1995年，特德·雅各布森证明了爱因斯坦理论的场方程可以通过假设热力学定律是正确的推导出来。因此，热力学和引力之间的联系非常紧密。

霍金辐射

降维说，黑洞内部的引力奇点是如此强大，以至于所有落入其中的东西都注定要灭亡。1975年，霍金在他的论文《黑洞的粒子创造》中指出，量子效应使黑洞发射出与黑体辐射完全相同的辐射。

量子涨落在黑洞的视界附近产生粒子-反粒子对。这里我们有三种基本情况。

两个粒子都落在里面，
两个粒子都逃到外面，
其中一个粒子在黑洞附近跑开并成为一个真实的粒子，而另一个被捕获。

被黑洞捕获的粒子必须具有负能量，因为这里不能违反能量守恒定律，从而导致黑洞失去质量。黑洞继续失去质量，直到某一点，它失去了所有的质量并完全蒸发，这就是黑洞信息悖论。带着正能量的粒子逃逸，对于外部观察者来说，它看起来就像是黑洞释放出一种粒子辐射，被称为霍金辐射或霍金效应。

霍金温度

在霍金理论发现黑洞可以发射热辐射之后，我们知道了温度、熵等热力学量可以与黑洞联系起来。这个温度被称为霍金温度。

黑洞热力学第零定律指出，一个非旋转的黑洞在其视界处有一个均匀的表面引力。降维说，这样一个黑洞处于热平衡状态。因此，这个定律将黑洞的温度与其表面引力联系起来。

我们可以通过不同的方法来获得霍金温度，如表面重力法、量子隧穿法和热力学第一定律。黑洞辐射的普遍温度根据下面的公式得出：

公式1：霍金温度公式

其中，κ是黑洞的表面引力，c是光速，k是波尔兹曼常数。

量子隧穿

量子隧穿是我们日常生活中经典物理学和量子力学领域之间最特殊的区别之一。对于亚原子粒子，比如电子，当我们说它们能穿过势垒时，我们指的不是物理障碍，而是能量势垒。

电子等亚原子粒子的隧穿是可能的，这是由于与之相对应的波的性质。量子理论将波的性质赋予每一个粒子，它们的相关波函数在整个空间中都有定义，因此波穿过障碍物的概率总是不为零，就像声波穿过墙壁一样。它基本上是波粒二象性的结果，并经常被海森堡的不确定原理阐明。

隧穿效应在许多物理现象中都有应用，如热核聚变（为太阳提供能量）、隧穿二极管和量子计算等。

黑洞隧穿

推导霍金辐射有不同的方法，主要依靠弯曲时空中的量子场论。例如，可以通过入射和射出辐射的初态和末态之间的波戈里乌波夫变换等方法来研究这些。最近出现了研究霍金辐射谱和霍金温度的黑洞隧穿法，这是一个非常有趣的方法。

黑洞的辐射谱包含了所有自旋为0的粒子，自旋为1的矢量粒子或玻色子，以及自旋为1/2的费米子或狄拉克粒子。

在量子场论中，我们说普通空间充满了所有已知亚原子粒子的场，所以它把粒子当作它们潜在场的激发态。因此，对于标量粒子，我们有克莱恩—戈登场；对于向量粒子，有麦克斯韦场；对于费米子，有狄拉克场。

在文献中，我们有两种方法来讨论事件视界辐射的隧道效应。一种是径向零测地线法，另一种是哈密顿雅可比方法。

这里我们将详细讨论哈密顿雅可比方法，因为所谓的零测地线方法在某种程度上是有缺陷的，因为它推导出的黑洞辐射亮度很少有合理的假设。另一方面，哈密顿雅克比方法可以解决这些问题，并可应用于更大范围的时空。

哈密顿雅可比方法

这种方法的物理思想是粒子的成对产生就发生在黑洞的视界内，其中一个粒子对应入射模式，另一个对应输出模式。输出模可以沿着经典的路径从视界到达无穷远处，隧穿振幅可用该作用的虚部来测量。然而，经典的粒子可以落在视界之外，所以进入模式的动作必须是真实的。

该方法的实质是计算时空中运动的虚部。我们使用Wentzel, Kramers和Brillouin （WKB）近似的场方程的相应粒子。这里，为了简单起见，我们考虑标量粒子的发射，它需要克莱因戈登方程，给定为：

方程2：弯曲时空中的莱因戈登方程

其中，m是粒子的质量，Ψ是基础场。

我们考虑以下形式的一般度量：

方程3：一个简单的不带电的、非旋转的时空

该微分方程不能直接求解，因此我们采用形式的WKB近似来假定解

方程4

这里：

其中S是经典动作。通过在莱因戈登方程中使用方程4来确定h的前导顺序，因为在这里我们忽略了粒子的引力效应，因此发现该作用满足了相对论的哈密顿雅可比方程。

方程5：相对论哈密顿雅可比方程

将度规分量代入我们得到的上述方程

公式6：度量的哈密顿雅可比方程

然后我们应用变量分离，保持黑洞的时空对称性。

Eq.(7)分离变量

其中E为发射粒子的能量，W（r）为贡献隧道振幅的径向部分，C可以为复常数。

求解径向部分

方程8：动作的径向部分

这里(+)号对应于外出模式，而(-)号对应于进入模式。现在，在泰勒级数中展开函数F(r)和G(r)我们得到：

公式9：泰勒展开

由于在事件视界上有一个简单极点，用泰勒展开法代入上述方程，用复积分法求解所给方程，得到了动作的虚部。

方程10：虚部

隧穿概率

现在，粒子穿过视界的概率从外面到里面，反之亦然

方程11：隧穿概率

通过进一步的假设来保证概率的归一化，我们得到了粒子出去的隧穿概率。

方程12：对于外出粒子

利用上述方程中动作的虚部，我们得到：

方程13：隧穿概率的最终形式

这是从视界出发的标量粒子所需要的隧穿概率。通过量纲分析，等效于辐射的玻尔兹曼因子，可以计算出相应的霍金温度。

式14：霍金温度

该方法的稳健性体现在矢量粒子和标量粒子发射的霍金温度是相同的。这是一个重要的结果，因为它保证了矢量粒子将在与标量粒子相同的温度下从视界辐射出来。

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