墨西哥裔、以色列裔美国理论物理学家贝肯斯坦是第一个提出黑洞存在的人——一个时空区域,引力非常强,连光都无法逃脱。他指出,黑洞应该有一个定义明确的熵。根据贝肯斯坦,我们可以这样定义黑洞熵:
黑洞熵是必须分配给黑洞的熵量,以使其符合热力学定律,因为它们被黑洞外部的观察者解释。(Black hole entropy is the amount of entropy that must be assigned to a black hole in order for it to comply with the laws of thermodynamics as they are interpreted by observers external to that black hole.)
图1:贝肯斯坦-霍金熵。它的值与A/4成正比,其中A是视界的面积。
在贝肯斯坦的一篇文章中,他提供了三种可能的方法来证明黑洞熵的存在:
(1)坍塌形成黑洞的物质和辐射对外部观察者是隐藏的。因此,这样的观察者无法提供黑洞坍塌的热力学描述,因为它们(黑洞)是不可观测的。一种解释热力学的方法是把熵和黑洞联系起来。
图2:引力坍缩导致黑洞的形成(维基百科)。
(2)参数化一个静止黑洞只需要三个量——质量M,电荷Q和角动量J。因为在这三个参数中有几种可能的黑洞形成机制,必然有几种可能的内部状态与之相关。我们知道热力学熵量化了许多微观状态(与给定的宏观状态兼容),它们以温度T、压力P和体积V等为特征。在黑洞的例子中,宏观状态的特征是元组(M, Q, J)。引用贝肯斯坦的话,“热力学熵量化[…]多重性。”因此,我们需要把熵和黑洞联系起来。
图3:微观状态是热力学系统可以占据的一种特殊的微观构型。宏观状态是指它的宏观性质,有一些参数如温度,压力和体积。(图片:维基百科)
(3)黑洞隐藏着信息。黑洞提供的所有信息都是(M, Q, J),它屏蔽了所有进入它的信息。因为我们从基本统计力学中知道熵是用来测量缺失信息的,这表明黑洞也有熵。
图4:所有三种不同形状的“恒星”坍缩而没有保留其属性。崩塌后,第一个黑洞没有磁场,第二个黑洞不是方形的,第三个黑洞的表面没有凸起。
我们有理由假设黑洞的熵只依赖于三个可观测量M、Q和J中的一个或多个。根据面积定理,黑洞的事件视界的面积不会减少。这让我们想起了封闭系统的热力学熵的行为。因此,假设黑洞的熵是视界面积的单调递增函数是有意义的。
现在,我们可以证明(稍后将讨论),一个遵循热力学第一定律的黑洞,其熵与视界的面积成正比。更具体地说,如果视界的面积是A,黑洞熵是:
式1:黑洞的熵与其视界面积A成正比(在这个表达式中,所有物理常数均设为1)。
我们使用自然单位(物理常数设为1)。
图5:黑洞S的熵与其视界的面积A成正比。
黑洞主要有四种类型:
史瓦西黑洞:质量M,电荷Q=0角动量J=0。
克尔黑洞和克尔-纽曼黑洞:质量M,电荷Q(克尔黑洞Q=0,但克尔-纽曼黑洞是带电的),角动量J。
赖斯纳-诺德斯特伦黑洞(Reissner–Nordström black holes ):质量M,电荷Q,角动量J=0。
下面我将简要介绍史瓦西黑洞和克尔-纽曼黑洞。前者是最简单的黑洞类型,后者是最普遍的。
史瓦西黑洞是静止
式2:球坐标下的史瓦西线元。
从球面坐标系转换到一个新的叫做爱丁顿-芬克尔斯坦坐标系,人们发现r = 2M并不是一个真实的时空奇点。史瓦西黑洞的唯一奇点是在中心r=0处。视界的半径为r = 2M,视界的表面积和相应的熵为:
式3:史瓦西黑洞的视界面积和相应的熵。
图6:史瓦西黑洞。右边的图显示了一个吸积盘,它是由围绕中心大质量物体的弥散物质形成的。光子层是一个空间区域,在那里引力迫使光子在轨道上运动。
克尔-纽曼黑洞是最普遍的固定黑洞。注意,固定和静止是不同的概念。克尔-纽曼黑洞是旋转的(因此它不是静态的),但是它总是以同样的方式旋转,因此它是固定的。克尔-纽曼黑洞有三个参数,即黑洞的质量M,电荷Q,和角动量J。它是Q=0的克尔黑洞的推广。与史瓦西黑洞相反,克尔-纽曼黑洞的视界不是球形的。
在波义耳-林德奎斯特坐标(Boyer-Lindquist)坐标(t,r,θ,ϕ)中,线元素为:
式4:用波义耳-林德奎斯特坐标表示的克尔-纽曼线元。
这里:
式5:克尔-纽曼黑洞度规的参数。
其中θ是球坐标中的极坐标角。我们还需要知道电磁场张量,以便得到爱因斯坦场方程的解。在波义耳-林德奎斯特形式中,电磁场张量为:
式6:克尔-纽曼黑洞的麦克斯韦张量
每质量带电荷q的粒子围绕克尔-纽曼黑洞的运动方程如下:
式7
下面的动画演示了测试粒子的运动。
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