根据爱因斯坦的经典引力理论，黑洞是一个时空区域，它具有极强的引力场，任何东西都无法逃脱（即使是光也不能）。这个性质的一个结果就是黑洞永远不会缩小。然而，如果考虑量子效应，这种情况就会发生巨大变化。正如这篇文章将展示的，由于黑洞表面附近（所谓的视界）的量子场的真空涨落，黑洞会发射出粒子，如光子、中微子和其他粒子。因此，黑洞并不是完全“黑的”。这一突破性的发现者是英国著名物理学家斯蒂芬·霍金。

图1：第一张黑洞图片。这个特殊的黑洞位于M87星系的中心。我们在图像中看到的是围绕黑洞旋转的热气体发出的辐射。

静态黑洞发射出粒子的这一预测让物理界感到惊讶。霍金先前的研究表明，旋转的黑洞会产生粒子。后来他发现即使是静止的黑洞也会产生粒子。

图2：斯蒂芬·霍金和他开创性的论文

在这篇文章中，我将遵循Mukhanov和Winitzki关于二维时空中无质量标量场的霍金温度的推导（四维时空中的推导可以在霍金的原始论文中找到）。

霍金辐射的物理起源

关于霍金辐射起源的标准解释如下。量子涨落的一般特征是虚粒子-反粒子对的不断产生。在黑洞的视界附近经常发生的是，两个粒子中的一个穿过视界，而另一个粒子以霍金辐射的形式逃逸。

图3：正如文中所解释的，当一对粒子在黑洞附近产生，其中一个落在黑洞里面，另一个粒子以霍金辐射的形式逃逸。

虽然这种解释是普遍存在的，但它不符合实际计算。

史瓦西黑洞

史瓦西黑洞是非旋转的，是球对称的。它是最简单的黑洞，只包含一个参数，质量m。球面坐标系下的二维史瓦西线元为：

式1：二维的史瓦西线元。

式1似乎表明在史瓦西度规中有两个奇点（时空中引力场变得无穷大的位置），一个在r=0处；另一个在r= 2M处，也就是所谓的史瓦西半径。更具体地说，代入r= 2M，线素的两个分量为：

式2：史瓦西度规张量在r=2M处计算的(t,r)坐标中的分量

然而，接下来我们将会看到，史瓦西黑洞的唯一物理奇点是在r=0处。在r = 2M处的奇点实际上只是一个坐标奇点，可以通过一个新的坐标系来消除。为了证明这一点，我们将引入Kruskal-Szekeres坐标。

图4：由史瓦西黑洞产生的引力透镜效应（发生在遥远光源和观察者之间的物质造成的光线弯曲），该黑洞穿过视线平面到达一个星系

Kruskal-Szekeres坐标

得到的Kruskal-Szekeres坐标如下。首先，定义“tortoise坐标”r*(r)和相应的tortoise光锥坐标：

式3：tortoise坐标和tortoise光锥坐标的定义。

注意r*在r = 2M处是奇异的。这意味着tortoise光锥坐标，在r = 2M处也是奇异的，不包括r < 2M的区域，这被定义为黑洞内部。为了覆盖整个史瓦西黑洞时空，我们需要再次改变坐标系。这个新的坐标系将是Kruskal-Szekeres光锥坐标的解析扩展，其定义如下：

式4：Kruskal-Szekeres光锥坐标。

线元素变成：

式5：式4中Kruskal-Szekeres光锥坐标中的线元素。我们注意到r=2M处没有奇点。

现在将它与式1进行比较。我们看到在这个坐标系中，史瓦西半径r=2M处的奇点消失了。因此，如前所述，r = 2M是一个坐标奇点，而不是一个物理奇点。这意味着当一个自由落体的观察者穿过半径r = 2M时，他不会感到任何异常。

注意Kruskal-Szekeres光锥坐标的有效域为-∞< u <0 和 0 < v < ∞。这些坐标不覆盖 r < 2M区域。换句话说，对于 r >2M，它们只在黑洞之外有效。但是，请注意，线元方程5在所有-∞< u <∞ 和 -∞ < v < ∞区域的定义是明确的，覆盖了所有的史瓦西时空。然后我们必须解析地扩展坐标u和v，使其包含u > 0 和 v < 0。

根据Mukhanov和Winitzki，我们可以用式3、4和5将新的Kruskal-Szekeres光锥坐标(u, v)表示为原来的(t, r)。我们得到以下两个关系：

式6：用t和r表示的Kruskal-Szekeres光锥坐标。

如果我们继续解析u和v，这些关系将适用于所有的史瓦西黑洞时空。

为了得到史瓦西黑洞的Kruskal-Szekeres图，我们引入了两个新的坐标，即：

式7：坐标u和v的定义。

现在，为了覆盖整个图，我们必须扩展坐标(u, v)。用原始坐标(t, r)表示扩展变量(u, v)，我们得到两组坐标，即：

式8：史瓦西黑洞几何上的两组Kruskal-Szekeres坐标。上对坐标覆盖黑洞外部(r >2m)，下对坐标覆盖黑洞内部(r <2M)。

Kruskal-Szekeres图如下图所示：

图5：Kruskal-Szekeres图，其中轴为坐标(T, R)。史瓦西黑洞时空被划分为四个渐近区域I, II, III, IV。R为常数的曲线为双曲线，T为常数的线为直线

请注意以下几个重要特征：

我们知道(u,v)零测地线是斜率为π/4和-π/4的直线
由式6可知，超曲面r = const对应于T-R平面上的下列双曲：

式9

由式6，对于r > 2M，我们有uv < 0，这意味着方程9中的双曲线r =常数是类时间的。对于r < 2M则相反，uv > 0，式9中的双曲线r =常数是类空间的。

从等式6的第二个表达式中，我们可以看出，曲面t =常数是用直线表示的。对于r < 2M（在黑洞内部），时间t变成了空间坐标。在外面，t仍然被解释为时间。降维说，在事件视界内，空间和时间有效地互换了!

在T的两个值处有两个奇点：

式10：r=0对应的两个类空间奇点。

两个r = 0曲面以外的区域不能被这些坐标覆盖。

量化

为简单起见，让我们写出二维弯曲时空中无质量标量场的作用：

式11：具有度规张量g的二维弯曲时空中无质量标量场的作用。

对应于S的标量场方程可以用tortoise光锥坐标或Kruskal-Szekeres光锥坐标表示。在这两种情况下，它都是两项的和：

式12：上述作用S对应的标量场方程，用tortoise光锥坐标和Kruskal-Szekeres光锥坐标表示。

这是S的正形不变性的结果。a和b是行为良好的函数。下面是一个简单的例子：

用tortoise光锥坐标表示的史瓦西线元素为：

式14：史瓦西线元，用tortoise光锥坐标表示。

在离黑洞很远的地方，线元素变成：

式15

我们看到，在离黑洞很远的地方，静止观察者的固有时间与式15中的t重合。

在量子场论中，我们通常用创造和湮灭算符来扩展场：

式16：场ϕ的扩展。

对应于b湮灭算符的真空称为Boulware真空，根据距离黑洞很远的观察者的说法，它不包含任何粒子：

式17：Boulware真空。

因为，正如我们之前看到的，tortoise光锥坐标只覆盖了史瓦西黑洞时空的一部分（视界外），Boulware真空在视界上有奇异的行为，因此它在物理上是无效的。此外，相应的能量密度会在视界处发散，量子涨落会产生强烈的反向反应，从而推翻弱扰动经典引力场的基本假设。

与tortoise光锥坐标相比，Kruskal-Szekeres光锥坐标覆盖了所有的史瓦西黑洞时空，并且在视界上定义明确。在视界附近，Kruskal-Szekeres坐标中的线元素为：

式18：视界附近的Kruskal-Szekeres光锥坐标中的线素。

因此，一个穿过视界的观察者与一个频率为ω > 0的模式有关。再次如式16所示扩展场，我们得到：

式19：使用Kruskal-Szekeres光锥坐标定义相应的产生和湮灭算符的场ϕ的扩展。

非奇异真空状态现在有一个有限的能量密度，导致量子涨落的一个小反向反应，保持经典引力场正常扰动。Kruskal 真空服从：

式20：Kruskal–Szekeres真空所服从的条件。

因此，可以被认定为接近黑洞的“真正”真空。

现在，对于遥远的观察者来说，Kruskal–Szekeres真空中含有粒子。我们得到远处观测者测得的热谱和相应的霍金温度的表达式如：

式21：远端观测者测得的热光谱和相应的温度（即所谓的霍金温度）。

霍金辐射非常微弱，被大量的热气体发出的辐射所淹没，这些气体落入我们目前确认的所有黑洞中。

图6：一颗恒星被一个被尘埃环包围的黑洞吞噬的发光物质流。

这可能是它尚未被观测到的原因之一。由式21可知，只有质量很小的黑洞才会发出可测量强度的霍金辐射。

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