微积分的思想分析——莱布尼茨篇

莱布尼茨研究的问题以及研究的手法与牛顿不同，但是在本质上是一样的，都用到了极限计算。莱布尼茨首先定义了函数，在他1673年的一部手稿中用到了function一词，表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的纵坐标，然后他研究曲线的切线。曲线的切线与导数有关，比速度更具有几何直观，并且与光学以及行星运动联系密切。对于给定的曲线

y=f(x)和点x₀，我们希望得到过点A(x₀,f(x₀))的曲线的切线。如下图：

图1

点A(x₀,f(x₀))在曲线y=f(x)上，其中f(x₀)为对应x=x₀时y轴的坐标。根据定义，切线是一条经过点A并且在点A附件与曲线仅有一个交点的直线。依据直线方程，我们只需要再求出切线的斜率就可以得到切线方程了。可是如何计算斜率呢？类似牛顿的思考，在x轴的x₀处给一个增量h，于是在y轴的f(x₀)处可以得到一个对应的增量m=f(x₀+h)-f(x₀)。如图1所示，比值m/h为割线AB的斜率，其中B的坐标为（x₀+h，f(x₀+h)）。显然，当增量h趋于0时增量m也趋于0。可以想象这是割线AB与曲线将会只有一个交点，于是莱布尼茨定义这时的比值为切线的斜率，并且用符号dy/dx表示。这个符号研用至今，我们称dy/dx为函数y对x的导数。经过大约十二年的努力，莱布尼茨于1684年在《教师学报》上发表了他的第一篇关于微积分的论文，这也是第一篇系统阐述微积分的论文。比较前文“微积分的思想分析---牛顿篇”中“瞬时速度=[f(t₀+△t)-f(t₀)]/△t ”可以看到，莱布尼茨的方法与牛顿的方法实质是一样的，并且与牛顿一样，莱布尼茨也不能很好地解释极限运算地规则。但是莱布尼茨是一位伟大地哲学家，面对来自各个方面地“过分苛刻”的批评，他在1695年的《教师学报》的文章中给出了富有哲理的，今天仍有价值的回答：“过分的审慎步应该使我们抛弃创造的成果。”同时，莱布尼茨进一步思考了无穷小量的阶，认为当h是一个无穷小量时，诸如h²，h³这样的h的任意次幂将是更小的量，可以忽略。1699年他在给朋友的一封信中写道：

“考虑这样一种无穷小量将是有用的，当计算它们的比的时候，不把它们当作零，但是只要它们与不可比较的大量一起出现时，就把它们舍弃。例如，如果我们有x+dx，就把dx舍弃。”

可以看到，莱布尼茨已经说出了我们今天在分析学中经常使用的高阶无穷小的思想。如果曲线方程为y=ax²，类似前文“微积分的思想分析---牛顿篇”中

m/h=(39.2h+4.9h²)/h

=39.2+4.9h

的计算可以得到dy/dx=2ax,如果令a=4.9和x=4，则dy/dx=39.2，这与上式计算的结果是一致的。

微分远没有导数那样直观，但与导数有着密切的联系。当导数dy/dx=2ax时，对应的微分形式为dy=(2ax)dx。我们已知导数时，微分是函数增量的一个近似表达，当x得到一个增量dx时则y得到一个增量dy，这个增量是dx的一个线性函数，截距为0，斜率为导数。当然，这个增量必须非常小，否则会引起较大的误差。

积分最初的目的是计算被曲线围成的区域的面积。这是一个非常古老的问题，一直可以追溯到古希腊的欧多克斯和阿基米德。到了17世纪，借助直角坐标系，人们可以把这样的问题阐述得更加清晰了。

图2

如图2，要计算曲线y=x²下，a≦x≦b的面积。因为我们会计算矩形的面积，于是就从矩形出发思考解决问题的方法。把区间[a,b]分为n等分，分点分别为x₁,...x_n-1,x_n，其中x_n=b，这样可以得到n个宽为(b-a)/n，高为y_i=x_i²的小矩形，这些小矩形面积之和为

(b-a)·(x₁²+...+x_n²)/n （1）

这个面积之和显然要大于曲线下的面积，但是，当n逐渐增大时，面积之差将会逐渐减少。与求瞬时速度的想法一样，如果n趋于无穷大(等价于1/n趋于0)时，上述面积之和就等于曲线下的面积。

下面我们来计算（1）式，由定义知道，对i=1,...,n，有x_i=a+i(b-a)/n，因此（1）式可以写为

[(b-a)/n]·[a²+(2a/n)(b-a)∑i+[(b-a)²/n²]∑i²]

其中，∑i表示对i由1到n求和，我们知道这个和等于(1/2)n(n+1)；∑i²表示对i²由1到n求和，这个和等于(1/6)n(n+1)(2n+1)。通过计算我们可以得到上式为：

(b-a)[a²+(1+1/n)a(b-a)+(b-a)²(1/3+1/2n+1/6n²)]

按照莱布尼茨的想法，高阶无穷小1/n和1/n²的项都可以忽略，于是，我们得到区间[a,b]上曲线y=x²下的面积=(1/3)(b³-a³)

多么美妙的计算方法，多么美妙的结果！

可以把上面的计算方法推广到一般，如果我们要计算曲线y=f(x)下，a≦x≦b的面积，对应于“瞬时速度=[f(t₀+△t)-f(t₀)]/△t ”式可以得到小矩形面积之和为

(b-a)∑(1/n)f(x_i)

然后再计算求和，忽略高阶无穷小。莱布尼茨是制造符号的高手，他把这一系列过程用一个拉长∑符号代替，把(b-a)/n用他曾发明的微分符号dx代替，于是有区间[a,b]上曲线y=f(x)下的面积∫^b_af(x)dx

于是，积分就建立起来了。由解析几何知道，一个函数总能与一条曲线对应，于是积分就有了很好的直观解释：一个函数的积分就是对应曲线下的面积。

但是从上面的运算可以知道，求和并不是一件简单的事情，是否有更加简捷的方法来计算常见的函数的积分呢？还是来分析函数y=f(x)=x²，我们已经知道了这个函数的积分，如果令F(x)=x³/3,那么，积分的结果就可以写成F(b)-F(a)。容易验证，F(x)的导数恰为f(x)，于是就再导数（微分）与积分之间建立起了桥梁：如果F(x)的导数为f(x)，那么

∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)

为了纪念牛顿和莱布尼茨的贡献，人们称这个公式为牛顿-莱布尼茨公式。

容易看到，积分的本质也是利用了极限运算，可是对于具有如此威力的极限运算，人们依然不能清楚地表达这种运算的规则，因此不能给出合理的解释。对于这个问题，将在后续“极限理论的建立”中予以阐释。