1、平移+旋转+翻析
例1、如图1-①,以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,A点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,4),将矩形OABC绕O点逆时针旋转,使B点落在y轴的正半轴上,旋转后的矩形为、BC、相交于点M。
(1)求点的坐标与线段的长;
(2)将图1-①中的矩形沿y轴向上平移,如图1-②,矩形是平移过程中的某一位置,、相交于点,点P运动到C点停止,设点P运动的距离为x,矩形与原矩形OABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)如图1-③,当点P运动到点C时,平移后的矩形为,请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形OABC重合,请简述你的做法。
分析:第(1)问由勾股定理得的长,从而求出点的坐标,已知线段OC的长,继而求出线段的长。第(2)问在矩形的整个平移过程中,矩形与原矩形OABC重叠图形由四边形(当点从开始位置平移到矩形OABC的边BC上时)变为三角形(当点从矩形OABC的边BC上到运动停止时),求出对应图形在对应条件下自变量x的取值范围及重叠部分的面积。第(3)问具有开放性,可直接通过图形沿某一条直线翻折得到,或先旋转再平移得到,或先旋转再翻折得到,或先平移再旋转得到。
解:(1)如图1-①,因为,所以点的坐标为(0,5)。
。
(2)在矩形沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中,点运动到矩形OABC的边BC上时,求得P点移动的距离。当自变量x的取值范围为时,如图1-②,由△∽△,得,此时,,即,当自变量x的取值范围为时,求得。(3)①把矩形沿∠的角平分线所在直线对折。或②把矩形绕C点顺时针旋转,使点与点B重合,再沿y轴向下平移4个单位长度。或③把矩形绕C点顺时针旋转,使点与点B重合,再沿BC所在的直线对折。或④把矩形沿y轴向下平移4个单位长度,再绕O点顺时针旋转,使点与点A重合。
2、旋转
例2、如图2,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转角,得到矩形CFED。设FC与AB交于点H,且A(0,4)、C(6,0)(如图2-①)。
(1)当时,△CBD的形状是_________;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当时,(如图2-②),请探究:经过点D,且以B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由。
分析:第(1)问可利用旋转前后对应线段相等得出BC=CD,∠BCD=,所以△CBD为等边三角形;第(2)问中可利用勾股定理求出H点坐标,从而求出FC的解析式;第(3)问中求出M点坐标,代入解析式检验。
解:(1)等边三角形。
(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,依题意可得AB=OC=6,BC=OA=4。
在Rt△BHC中,,即,解得,∴H(,4)。
设,把H()、C(6,0)代入得解得
∴。
(3)抛物线顶点为B(6,4),设,把D(10,0)代入得,
∴,依题意可得,点M的坐标为(8,3),把代入,得,∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M。
例3、如图3,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点()以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA,矩形AOBC绕点A逆时针旋转得矩形AGDE。过点A的直线交y轴于F点,FB=FA。抛物线过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为点M。
(1)求k的值;
(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变?说明你的理由。
分析:第(1)问利用已知条件及勾股定理,得,又直线过点A(n,0),用中间变量n,求出k的值。第(2)问用中间变量n表示出抛物线的解析式,解直线与抛物线联列的方程组,求出点H的坐标,从而用中间变量n表示出△AMH的面积及矩形AOBC的面积,进而求出它们的比值。
解:(1)根据题意得到:B(0,-2n);当时,,∴点F的坐标为(0,m),而FB=。
∵Rt△AOF中,,又FB=AF,∴,
化简得:,对于过点A(n,0)
∴,∴
(2)∵抛物线过点E(3n,0)、点F(0,)、点G(,),
∴
解得:,,。
∴抛物线为。
解方程组:得;
∴H坐标是:(5n,3n),
HM=,AM=,
∴,而,
∴,不随着点A的位置的改变而改变。
3、翻折
例4、在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB=2,AD=1,且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合,将矩形折叠,使点A落在边DC上,设A′是点A落在边DC上的对应点。
(1)当矩形ABCD沿直线折叠时(如图4-①),求点A′的坐标和b的值;(2)当矩形ABCD沿直线折叠时,①求点A′的坐标(用表示),并求出k和b之间的关系式;②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图4-②,4-③,4-④三种情形,请你分别写出每种情形时k的取值范围。(将答案直接填在每种情形下的横线上)
k的取值范围是________;k的取值范围是________;k的取值范围是________
简析:(1)根据轴对称的性质,可得两直角三角形相似,从而得对应线段成比例,求出点A′的坐标为(,1),再由勾股定理求出。(2)本小题与(1)小题的区别是用字母k表示数,同法(1)求出点A′的坐标为(-k,1),k和b之间的关系式为。(3)从图②至图④中对称轴的位置可以看出,对称轴由陡渐平,从而k值由小到大直至为O,再考虑点A′的三个特殊对称点,当A′分别与点C、D、B重合时,对应的k值分别为-2,-1,-2+,从而在三种图形下对应的k的取值范围分别为,,。
例5、将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10。
(1)如图5-①,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;
(2)如图5-②,在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上的D′点,过D′作D′G∥y轴交E′F于T点,交OC于G点,求证:TG=AE′。
(3)在(2)的条件下,设T(x,y)①探求:y与x之间的函数关系式。②指出变量x的取值范围。
(4)如图5-③,如果将矩形OABC变为平行四边形OA′B′C′,使OC′=10,OC′边上的高等于6,其它条件均不变,探求:这时T′(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得到函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式。
简析:(1)设E(0,m),在△ADE由勾股定理得或由△ADE∽△BCD得,解得,∴E(0,)。
(2)连接OD′交E′F于P,由折叠可知E′F垂直平分OD′,即OP=PD′,由OE′∥DG′,从而得出OE′=D′T,从而AE′=TG。
(3)①连接OT,由(2)可得OT=D′T,由勾股定理可得得。
②结合(1)可得AD′=OG=2时,x最小,从而;当E′F恰好平分∠AOB时,AD′最大即x最大,此时G点与F点重合,四边形AOFD′为正方形,故x最大为6,从而,故。
(4)y与x之间仍然满足(3)中所得的函数关系式。理由:连接OT′仍然可得OT′=D′′T′,即从而(3)中所得的函数关系式仍然成立。
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