数学研究的对象之一是数量关系和结构关系，在数学中采用集合的形式来定义关系，可以粗略看下百度百科中对关系的定义，以及关系的一些性质(自反性、传递性等)。摘录其中的一部分，如下图。
图一
图二
上面的这些只要粗略了解即可。
关系以及关系思想的哲学基础都是辩证法，特别是其中的联系观、矛盾观、辩证思维。
联系观，万事万物存在千丝万缕的联系。
”联系观，即联系的观点，是唯物辩证法的一个总特征。所谓联系就是事物之间以及事物内部诸要素之间的相互影响、相互制约和相互作用的关系。唯物辩证法认为世界上一切事物都不是孤立存在的，而是和周围其他事物相互联系着的，整个世界就是一个普遍联系着的有机整体。唯物辩证法认为联系具有普遍性、客观性、多样性、条件性、可变性。 因此，唯物辩证法主张用联系的观点看问题，反对形而上学孤立的观点。”
如果不熟悉辩证的联系观，可以简要看看百度百科上的联系观或找专门的辩证法书籍去学习，了解联系观的内容，例如联系的普遍性、客观性、多样性、条件性、可变性等等。
有联系就有关系，就有联系或关系网络，例如万物互联的物联网和大家熟知的互联网、城市交通网络、人的家庭关系、社会关系人脉网络，知识相互联系构成的知识体系结构。
矛盾观。矛盾的对立统一，相互联系相互转化。数学中存在很多相互对立但又相互联系，相互转化的关系，例如数与形的关系，数学中的各种逆运算之间的关系、函数和反函数的关系。数学中的数形结合思想，就是利用了数与形的对立统一，但又相互联系相互转化的关系。
辩证思维。辩证思维的特点是从对象的内在矛盾的运动变化中，从其各个方面的相互联系中进行考察，以便从整体上、本质上完整地认识对象。
数学中关系的分类
关系的多样性，数学中的关系也是多种多样，不可能有统一标准，要根据实际情况、具体问题具体分析。从多维度，多视角去分类。
分类较多，大致如下，不全面：
代数关系与几何(图形)关系、与/或/非逻辑关系(and、or、not)、横向关系与纵向关系、整体关系与局部关系、层次关系、结构(组合)关系、递推关系、等价关系和非等价关系、因果关系、充要/必要/充分关系、直接关系与间接关系、共性关系和个性关系、主要关系和次要关系、决定性关系和非决定性关系、一般关系与特殊关系、抽象关系与具体关系、强关系(强耦合、强关联)与弱关系(弱耦合、弱关联)、线性关系与非线性关系、正向关系和反向关系、明显关系和隐藏关系、良性关系与不良关系。
这个就更多了，不胜枚举，例如举一些例子：相反数关系、倒数关系、平方关系、相乘关系、相减关系、 全等关系、相似关系、相等关系、大于关系、小于关系、方程关系、函数关系、平行关系、垂直关系、相交关系、运算与逆运算的关系、函数与反函数的关系、定理与逆定理的关系。
关系思想
辩证法主张用联系的观点看问题，反对形而上学孤立的观点。既然关系是数学研究的对象之一，那关系思想显然是一个主要的数学思想方法，值得我们去研究它的内涵。
方程和方程思想是不同的，学过方程的知识，会解方程，不一定就掌握方程思想，方程属于数学知识领域，方程思想属于数学思维领域，它是一种数学思想。两者虽有联系，但本质不一样。与此类似，数学中的关系和数学思维中的关系思想也是不同的两码事，数学虽然研究关系，学生在初高中也掌握各种数学对象之间的关系，例如直角三角形三边之间的关系(勾股定理)、三角形面积与边长和高之间的关系，但不一定就掌握了关系思想及其内涵。
对关系和关系思想，两者都要重视。关系是关系思想的基础，抛开关系去讲关系思想就会空洞无物，只有关系没有关系思想，层次境界不高。
大多数人对关系应该很熟悉，大多数人办事或处理问题，都喜欢找熟人、找朋友，这就是借助人脉关系的作用，日常社会生活中的关系思想那是相当入脑入心，相当地娴熟。
数学对关系的研究很深入，但对数学思维中的关系思想却没有发掘其内涵和价值，很多人不关注关系思想，不去研究它，不去有意识自觉地在解题实践中运用它，没有从心理意识上体会到它的巨大指导作用，潜意识也就难以吸纳它。难以从中受益，容易产生数学思维障碍也就有其必然性。就像血管堵塞会生病，道路之间没有互通或发生阻塞就会产生交通问题，没有掌握关系思想，没有可行的关系作为通路，思维难以灵活变通，因为即便想变通，也因为没有关系意识和关系通路而望题兴叹，束手无策。
数学思维中关系思想的内涵
对数学中的关系思想如果用一句话概括，就是在数学思维过程中要有关系意识，关注关系，抓住关系不放，注意从关系角度入手进行问题研究。
展开来讲，数学思维中的关系思想就是教导我们要抓住问题或题目中的关系不放，多研究关系：找(发现)关系、识别关系、表达关系&建模关系、建构关系(创建新关系)、解构(解藕)关系、利用关系、变换关系、整合(重组)关系、转化关系、改善关系、繁衍关系，强化或弱化关系，解题卡壳时还要反思关系，多维度反思还有什么关系没有发现，特别是隐藏的关系，还有哪些关系没有利用上，没有利用好，能不能换一种利用方式。
利用关系思想，第一步就是如何找关系、发现关系，如何识别关系。前面讲过，日常生活中，人们喜欢找关系办事，找关系就容易办成事，在数学思维中，也是一样的道理，更要找干系，没有关系几乎寸步难行。
除了问题和题目中已知的明显的关系，对隐藏的关系，要多维度多视角多层次地发散思维去找关系，去挖掘隐藏的关系，通过观察、提炼、抽象、归纳、比较、匹配、调整、变形、逻辑推理、分析综合、联想、类比、转化、实验、组合、运动(动态)思维、逆向思维、辩证思维、溯源思维、数形结合、多元表征等思维、思想和手段去探寻关系。
寻找和发现关系，当然要有关系思想背后的辩证法的联系观、矛盾观去找关系，去建构关系。我们在学习过程中，要注意新知识和旧知识的区别与联系，新知识在知识体系中的位置和层次，要用联系的观点和结构的观点去搭建我们的知识体系结构，要把所学的知识组织成既相互联系又有条理的融汇贯通的知识网络。例如学习乘法时，要理解它和加法的联系与区别；学习平均数时要想到它和抽屉原理的联系与区别。学习不等式时，要掌握它和方程的联系与区别。学习函数时，要想到它和方程的联系与区别。现在流行用思维导图去整理这些，其实用不用思维导图不是关键，只要有个关联关系的树形结构图就行。
当我们以后碰到问题时，就要有意识地从我们的知识网络中，提取和它有关联关系的一连串的知识。例如解方程，有时难以用常规的方法来解，如果我们先前在知识结构中建立了方程和不等式的联系，那此时，对有关系思想的人，他很有可能会沿着方程和不等式之间的通路(这条通路代表它们之间的联系),拔出萝卜带出泥，想到方程就想到和它有联系的不等式，从方程联想到不等式，进而用不等式的知识来解方程。
通过观察能发现一些关系和特征。观察也是有方法的，例如要多维度观察，要注意横向观察和纵向观察，上下左右观察，在运动中观察，对比观察，在观察中发现相同与不同。
发现和识别关系之后，第二步就是表达关系/建模关系，用合适的数学语言，例如方程、函数、向量、图形、图表、等式、代数式、不等式、数列等把它表达出来，这样才便于处理和利用。
其它的，如建构关系(创建新关系)、解构(解藕)关系、利用关系、变换关系、整合(重组)关系、转化关系、改善关系、繁衍关系，强化或弱化关系等就不多言了，在本人简书和头条中大部分都有阐述和实例讲解。先看简书中的系列文章，内容都是原创，为了阐述数学思维之道，需要用数学题来举例讲解，有些题目来自网络，但解题思维过程和解题方法都是原创。
简书网址：https://www.jianshu.com/u/2d3edb556d27 。
简书
建议先看第一篇，前言，网址https://www.jianshu.com/p/2aeb7084113d。
数学思想方法揭秘-前言
关系思想的应用
大海航行靠舵手，数学思维和数学思想要能指导解题行动和操作。这里用两道初中几何题来讲解下联想思维和关系思想在解题中的运用，关系思想在代数解题中的应用就不讲了，本人简书和今日头条中都有很多。
例题1
初中几何题
题目要求DE的长度。先自己思考一下。
这题的解法是本人原创。
讲解下思维过程。对这道题，审题和观察图形，识别、提取题目中的信息和特征。
这题似乎不算难，但一旦动手就知道有些困难，即便用解析几何知识，或用方程思想，一上来就用高中余弦定理或三角函数和差公式，运算量都较大，繁琐。大道至简，繁琐的方法一般不是正道，要果断排除在优先考虑的方法列表中。
对等腰中点这个特征点，肯定链接中点，这样就可利用上较多的几何性质和定理来帮助我们推理和运算。对几何图形，最基本的关系是边、角关系，可发现隐藏的角度关系，例如角ABE=ECB。
两个角度之和为180度，这个关系要好好利用，根据关系思想要思考如何利用好这个关系。等腰特征也能触发我们联想到将三角形ABE绕A点逆时针进行旋转变换，旋转度数为角BAC，旋转之后，结合解题操作：延长BE，利用和为180度这个条件、角ABE=ECB关系，试探之后，这些都无助于问题解决。
迅速调整思路，由180度，联想到四点共圆，再继续联想到外接圆、圆心角等于圆周角的2倍。产生了如下解题方法。
解题方法
当进行到O1A=O1D+AD=25a/4这一步之后，发现思路受阻，进行不下去。怎么想？想什么？此时迅速反思，自我启发，自我引导思维，反问自己还能发现哪些关系。几何题，最基本的是边角关系，相似关系也是边角关系，它是两个几何图形对象之间的边角关系。所以就利用关系思想，找隐藏的关系，很快通过计算发现存在O1E/O1A=O1D/O1E的相等关系，根据这个结合共角关系，繁衍关系，繁衍推理出两个三角形存在相似关系，进而得出AE=5/3DE的关系。结合角AED为120度特殊角、AD长度已知，这个就没啥难度了。做垂线DG，利用方程思想，勾股定理列方程求出DE=7。题目中设BC=6a，是使用了代换，可减少计算工作量。
这题的关键是运用联想思维和关系思想：联想到4点共圆-->圆心-->圆心角定理、解题受阻时，反思调整，利用了关系思想找隐藏的关系。
例题2
先自己做一下。
这道题的方法应该较多，我想到的第一个方法如下图，解题过程写得比较详细。
这个解题方法，利用关系思想，探求角度之间的关系，找出两个角BAD和ADB存在相等关系，得出BD=AB。根据角ADE为45度特殊角，结合直角EAF，合情合理想到要作ED的垂线DF，得出4点共圆。4点共圆的性质很丰富，关系很多，得到AE=AF。但到这一步后，似乎难以继续，所以我又去计算了几个角度：角ADC、FDC和DFC。这是关系思想指导下的关键的解题操作，发现角FDC等于DFC，故FC=CD=1,这就能列方程求解了。
这个方法的几个关键地方都是发现了隐藏的角度相等关系，得出线段相等。
总结
解题方法要学习，但探索解题方法的解题思维过程更重要，思维过程是解题方法之母，不知母焉知子。在解题思维过程中如何想、想什么、如何灵活变通才是真正体现思维之道，这是最需要熏陶的。
难题的思维过程有时不是一帆风顺的，这是个探索试验，充满了不确定性，要会适时调整思维、思路、方法以及解题操作。解题卡壳时，要反思调整，发散思维，多问下自己还能变哪里&如何变化、还能如何变？灵活变通，要讲辩证思维，要学习孙悟空的灵活变化。
关系思想是一个基础的数学思想，转换思想、数形结合思想、方程思想、函数思想、递推思想等都基于关系思想，例如方程思想列方程式时就要运用到关系思想，通过寻找相等关系或等价关系来列方程。我们要从自发地利用关系思想，转变到自觉地有意识地利用关系思想，要掌握关系思想的内涵，在解题实践中体会到关系思想的巨大指导和启发作用。
联系客服
