If you can take away only one thing ...
对这个世界，人们时常充满着诗意的想象或是浪漫的直觉。但是自然的想象力远远，远远超出人类的想象力。科学永远以事实为唯一参照。而量子力学告诉我们的是，即使这个世界有根本的不确定性，我们依然可以确定地知道一些信息。
对于不是物理学家的人来说，量子力学和相对论也是弥足轻重的。它们作为物理史上最成功的理论，代表着一群最有洞察力的物理学家为人类的认知边界的做出的推进。当我们从经典物理的世界踱入量子尺度时，会发现“测不准原理”才是这个世界最真实的主宰。
“测不准原理”是很具象的名字，形象地表述了，实验的时候在粒子的尺度上，永远无法同时测准它的位置与动量。海森堡首次于《论量子理论运动学与力学的物理内涵》中论述这种现象，把它称为“不确定性原理” [1]。这一点对于所有人来说无疑都是非常难以理解的，“上帝也会掷骰子吗”的诘问不绝于耳。似乎我们的世界又被打回了一片混沌，由牛顿为人类构造的 “物理自信”被打破了[2]。应当注意，这并不是说我们应当走向主观验证的“神秘主义”。恰恰相反，量子理论从来没有在预测自然的现象时失灵过；它只是精准犀利地揭露了一个和人类直觉有悖的事实——这个世界上存在根本的不确定性。
注释
[1] 不确定性原理 = “测不准原理”，海森堡在芝加哥讲义中给出了任何位置测量所造成的无法避免的动量不确定值的最小值大概是𝒉, ∆x∆p≳𝒉. 而后Earle Kennard把这个最小值确定在了ℏ/2. Earle Kennard在读PhD之前，获得罗德奖学金，在Pomona College和Oxford University读书。他在1926年的时候到了德国哥廷根，在那里见证了量子力学的黎明，并且第一个给出了不确定性原理的严格形式，也就是我们熟悉的：∆x∆p≽ℏ/2。
[2] 拉格朗日、哈密顿重构了经典物理，可以看做是经典力学过渡到量子力学的重要工作。
科学家在处理“不确定性”上很有经验。他山之石，可以攻玉。索罗斯的量子基金(Quantum Group of Funds)是著名的大规模对冲基金。取名“量子”，即是源于，量子力学最基础的原则之一的“不确定性原理”。不确定性是物质的根本属性——这意味着无论怎么改进实验步骤和器材精度，都无法在我们存在的时空，准确地描述一个粒子的轨迹；证券市场也存在这样的根本的不确定性。如果止步于此，只知其一，是低估了量子力学和正确认知的能力。成功的理论不仅揭示“是什么”，而且告诉我们“怎么做”。量子力学告诉我们，即使有根本的不确定性，我们还是能有100%的信心知道一个粒子能量的期望值[3]。
注释
[3] 在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值(expectation value)是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。量子力学显露出一种内禀统计行为。同样的一个实验重复地做很多次，每次实验的测量结果通常不会一样，只有从很多次的实验结果计算出来的统计平均值，才是可复制的数值。量子理论不能预测单次实验的测量结果，量子理论可以用期望值来预测多次实验得到的统计平均值。
而这句话对应的物理公式，就是大名鼎鼎的🔹薛定谔方程🔹。
H𝚿 = E𝚿
𝚿 (psi)是波函数，它包涵了这个粒子所有的信息[4]。H[5]是一种作用在𝚿上的操作，H𝚿的含义是，对𝚿进行观测，提取波函数中关于这个粒子的能量信息。不同于经典力学的近似，量子力学中对于“E”的解释是统计意义上的。因为即使把完全相同的实验重复地做很多次，每次的测量结果都会不同。但是我们可以预测准确很多次这样的实验的统计平均值，这就是公式中的E。这就像掷硬币一样，这一次投掷的结果并不会影响下一次的结果。如果掷几次，看似“正”“反”“反”“正”毫无规律，可是如果重复几百次，几千次，那出现“正”“反”的概率会接近50%。
注释
[4] 波函数本身不具备物理意义，|𝚿|^2则描述了这个粒子出现在某个地方的概率。如果再抽象一点说，经典概率论是l1-norm的，而量子力学是l2-norm的。
[5] Hamiltonian 哈密顿算子
物质粒子的不确定性体现在哪里？
费曼提出过这样一个问题，假如由于某种大灾难，所有的科学知识都丢失了，只有一句话传给下一代，那么怎样才能用最少的词汇表达最多的信息呢？他相信，答案是原子的假设：所有的物体都是由原子构成的。这些原子是小小的粒子，它们一直不停地运动着，当彼此略微离开时相互吸引，当彼此过于挤紧时又相互排斥。原子由原子核和电子构成，电子绕核做不规则运动。我们通过建立模型预测和实验验证来认识原子的构成。中学时学习的波尔模型是一种介于经典和量子之间的图景。它引入了量子化的概念却未能抛弃经典的电子轨道论[6]，违背了“不确定性原理”，在预测精密结构时力不从心。当我们有了薛定谔方程，就可以用描述电子在给定时刻出现在某处的概率，这就是“电子云”。
注释
[6] 我们不能预言它在某一时刻究竟出现在核外空间的哪个地方，只能知道它在某处出现的机会有多少。在量子化学中，用一个波函数𝚿(x，y，z)表征电子的运动状态，并且用它的模的平方表示单位体积内电子在核外空间某处出现的几率，即几率密度，所以电子云实际上就是|𝚿|^2在空间的分布。研究电子云的空间分布主要包括它的径向分布和角度分布两个方面。
当我们考虑大一些的微粒，比如说1微米的尘土颗粒[7]；这差不多是一个细胞、细菌的大小。相较于原子，尘土颗粒已经是宏观的系统了。假设说我们要用0.01的精度确定这颗尘埃的位置，通过简单的计算，我们可以得到动量的误差∆p大概是
注释
[7] 用量子的语言来描述则是：这颗尘粒的波包(wave packet) 有群速度(group velocity)与平均动量(average momentum).
位置-动量不确定性的推广
除了位置动量这一对不能同时确定的物理量以外，上文中提到的，无法在给定时间确定粒子的能量也是这种根本不确定性的体现。除了位置-动量，时间-能量这两对物理量以外，还有其它物理量也存在着无法避免的不确定性吗？是的，还有很多。
在量子物理里，位置、动量、能量、角动量等等可以通过得知的量被称为可观察量(Observable)[8]. 这些可观察量用“算符”(Operator)[9]表示。比如H𝚿 = E𝚿中的H就是能量对应的Hamiltonian算符。
注释
[8] 时间是什么？令人着迷却又难解的问题。时间是否是观察量，对应的算符含义还没有统一的答案。
[9] (偏)微分∂、积分∫ 是常见的算符。在量子力学中，算符通常由包含的∫ 、∂表达式或者矩阵表达。
不论在面对不确定性时，直觉上有多不可思议，广义的不确定性原理的数学推理却简练优雅，堪堪一页。这个公式是：
在这里，带着🎩的A,B指的是任意两个可观察量对应的算符，[
“先考试后复习”
我们拿不对易的位置和动量作为例子：
将这个公式两边开平方，就可以得到我们熟悉的∆x∆p≽ℏ/2
fourier transform and uncertainty
不确定性于应用
这样基础的不确定性或许根植于粒子的波动性中。实际上，任何波动系统，不论是量子的还是经典的都存在根本的不确定性。大如真空能量量子涨落，无形如信息之熵。陶哲轩与Emmanuel Candès在本世纪初提出的压缩感知(compressive sensing)[10]正是基于调和分析中的傅里叶变换。压缩感知在10年左右的热度可以说相当于如今的深度学习。压缩感知是一种高效的压缩技术，如今应用于手机摄像头传感器设计，核磁共振成像以及物联网等。
在量子工程中，量子噪音指的是源于量子本身不确定性的噪音[11]。经典噪音的出现是因为原子具有热量；它们会拥挤、碰撞。然而理论上即便在绝对零度，依然存在的噪音是量子噪音。现在已经初现曙光的量子技术有单光子源和单光子探测。单光子源是光学量子信息技术的核心资源[12]。
注释
[10] 压缩感知指的是用非常少的样本恢复稀疏信号，最少可以到什么程度由不确定性限制。压缩感知类似于在有条件的情况下，可以用三个方程解五个元。
[11] 严谨地说，量子噪音有两个来源，一个是电子在光学频率上的动能涨落(momentum fluctuations)，另外一个是不确定性相关的电磁场涨落。
[12] 2019年，中国科学技术大学潘建伟、陆朝阳、霍永恒等和中山大学余思远小组、国家纳米科学中心戴庆小组及德国、丹麦学者合作，在国际上首次提出椭圆微腔耦合实现确定性偏振单光子的理论方案，并在窄带和宽带两种微腔上成功实验实现了确定性偏振、高纯度、高全同性和高效率的单光子源，为光学量子计算特别是超越经典计算能力的“量子霸权”的实现奠定了坚实的科学基础。
尾声
天鹅铺天盖地飞过来时，我们习惯性地把它们都当做黑天鹅。可是仔细一想，不确定性之间是不同的——有不确定的不确定性，和确定的不确定性。确定的不确定性包括了环境变化必然带来的变化和紧张的地缘政治必然带来的油价波动等等。显然，应对这两类不确定性的方案是不一样的。
人类的大脑在漫长的岁月中进化出了节省运算空间的机制，会尽量避免不一致性。可是对于不切实际的确定性的追求恰恰会让人跌入深渊。19世纪的欧洲，对于确定性的飞蛾扑火加深了分歧，歌德写到，没有什么比在这个完全有限制的世界追求无条件的绝对更可悲的事情了。
费曼说，科学的原则，甚至可以说科学的定义是：实验是一切知识的试金石，实验是科学“真理”唯一鉴定者。物理给我们最好的借鉴是，道法自然。Reality must take presence.
费曼还讲过这样一个动人的故事。星球不断发出光和热的能量来源问题有着让人着迷的魔法。汉斯·贝特[13]认识到，恒星发光一定预示着恒星上不断地进行着核反应。有一天晚上，他和他的女朋友出去散步。当这个女朋友说：“看这些星星闪烁得多美啊！”他说：“是的，在此刻我是世界上唯一知道为什么它们会发光的人。”
注释
[13] 1967诺贝尔奖获得者
自然的定律是近似的。如果说前辈科学家们取得的璀璨成果是星空下的大海，我也只能是沧海中取一粟。但是进一寸有一寸的欢喜，只要这一寸的进步是符合科学的原则取得的。我希望把自己 的这一粟一寸记录下来，为同样对这个世界充满着好奇的你传递火炬，一起欣赏这个世界的美妙 ，感知这个现代化时代真正的文化内涵。
Reference:
1. 陶哲轩博客https://terrytao.wordpress.com/2007/04/15/ostrowski-lecture-the-uniform-uncertainty-principle-and-compressed-sensing/
2. 芒格 人类误判心理学
3. 尼采 Will to Truth
4. 费曼物理学讲义
5. Claude Cohen-Tannoudji Quantum Mechanics
6. Griffiths introduction to quantum mechanics
7. 歌德 《生活与性格》
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