只有在研究高速运动的物体时才需要狭义相对论吗?
许多介绍相对论的科普文章和教科书都以相对论力学为主要介绍对象,这一方面是因为力学研究的对象更贴近人们的生活,另一方面也是为了方便“炫耀”相对论的神奇,以便把“时间旅行”、“回到未来”这些荒诞不经的幻想和薛定谔的那只猫一样,推上大众文化的餐桌,反复消费。其实,狭义相对论是19世纪下半叶科学家们在研究电磁现象的时候逐步建立起来的。在笔者看来,对电磁现象而言,狭义相对论的出现非常自然和必要,相反非相对论的电磁世界才是荒唐且不合逻辑的。实际上,狭义相对论的提出,正是为了统一力学世界和电磁世界中关于参照系变换截然不同的观念[1]。让我们先从相对性原理讲起。
相对性原理是一条自然界的公理,即物理规律在任何惯性参照系下都保持一致。我们很容易检验,经典的牛顿力学满足相对性原理。在通过伽利略变换,把时空坐标从一个参照系变换到另一个参照系后,物体的坐标、速度、动量等都会发生改变;但决定这些物理量演化的规律保持相同的形式,即牛顿三大定律在不同的惯性系下保持完全一样的形式。比如牛顿第一定律:当一个物体处于不受力的状态时,它的速度保持不变。在实验室参照系S下牛顿第一定律可以写成u=常数。现在假设一个以速度v相对于实验室参照系匀速直线运动的S′系,根据牛顿力学背后的绝对时空观,我们可以用如下伽利略变换建立不同惯性系下的坐标(x,y,z,t)和(x′,y′,z′,t′)之间的关系:x′=x-vt;y′=y;z′=z;t′=t,并得到在S′系下牛顿第一定律的形式为u′=u-v=常数。可以看到,虽然在不同惯性系下观察者分别测到不同的速度u和u′,但不受外力的物体的运动速度在各自的参考系下均保持不变,这一运动学规律的形式是完全一致的。
从上面的例子可以看到,相对性原理在牛顿力学中是非常显然的。但是在电磁世界里则完全相反:如果还是坚持牛顿力学的绝对时空观,用伽利略变换来联系不同惯性系的话,相对性原理是显然不成立的。或者也可以这样说,要使电磁现象的规律满足相对性原理,我们需要时空坐标以不同于伽利略变换的方式变换。下面就来看一个非常简单的例子[2],假设在实验室系S中有一个试探点电荷被置于在一根沿着z方向的通电导线的附近x处,试探电荷保持静止,导线保持电中性并通以电流I=env,其中n是导线中电子的线密度,v是电子的漂移速度。在S系的观测者看来,导线中的电子以-v的速度沿着反方向运动而正电荷保持静止,从而形成 z方向的电流I,又由于电子和正电荷的线密度相等,都为n,因此正负电荷完全抵消,导线是电中性的。根据电磁学知识,我们可以轻松得到试探电荷处的磁场强度
。由于我们考虑的试探电荷在实验室系中处于静止状态,因而受到的洛伦兹力严格为零;再加上导线是电中性的,在试探电荷处不产生任何电场,在实验室系的观测者看来,试探电荷受到的总的电磁力严格为零,电荷不会产生任何运动。总结一下,在S系的观测者看来,下面让我们换到另一个惯性参照系S′来观测同一个物理过程。现在我们选择的参照系是以导线中电子的漂移速度-v沿着导线匀速运动的参照系。如果按照牛顿力学的观点对时空坐标做如下伽利略变换:
那么在S′参照系的观察者看来,试探电荷以v的速度运动,导线中的电子是静止的,而正电荷以v 的速度沿着导线运动。根据电流的定义,我们得到在S′系的电流I′不变,还是等于S系中观测到的电流I,同时导线依然是电中性的,从而产生与S系中一样的电磁场。现在我们可以总结一下对这一问题进行伽利略变换得到的结果:在S′系中观测到的电磁场严格等于在S系中的电磁场,也就是在伽利略变换下电磁场不变 E′ = E, B′ = B ,因为产生它们的“源”:电流和电荷密度都不变。但是,原先在S系中静止的试探电荷,在S′系的观测者看来以v的速度沿着导线方向运动,从而受到一个指向导线的大小
的洛伦兹力,并向着导线方向加速运动。现在问题来了,同一个物理过程,实验室参照系S和运动参照系S′的两个观察者得出截然不同的结论!一个认为试探电荷不受力,与导线之间的距离保持不变;另一个却认为试探电荷会受力并加速运动。这个简单的案例,给出了对一个经典电磁学问题用伽利略变换进行时空坐标变换的一个佯谬。那么到底谁对谁错,又是在哪个环节出了问题?是相对性原理不适用于电磁现象?还是伽利略变换不适用于电磁现象?
这是19世纪末物理学界最令人抓狂的问题,最后由那一代物理学家中的杰出代表洛伦兹、庞加莱和爱因斯坦等给出了令人信服的答案——狭义相对论。针对上述佯谬,答案应该是S系中观察者的观点是对的,电荷不受力。那么S′系的观察者做错了哪一点呢?问题出在从S系到S′系的时空坐标变换。狭义相对论告诉我们,在两个惯性参照系之间,严格的时空坐标变换形式是洛伦兹变换而不是伽利略变换,无论对力学现象还是电磁现象都是如此。只是对于牛顿力学研究的宏观物体来说,伽利略变换是在低速 (远低于光速) 下的很好近似。然而对于电磁场这样的规范场来讲,它对应的微观粒子——光子是无质量的,如果要保留电磁场方程自身的动力学,在任何情况下伽利略变换都不是一个物理上可接受的近似。比如上述佯谬就是一个典型案例,哪怕运动速度v远远低于光速,这个问题还是一样存在,是定性而非定量的错误问题。实际上对S′参照系中的观测者来说,他观测到的电流I′并不等于I,更重要的是他测到的导线不再是电中性的而是带有均匀的电荷密度ρ′!正是电荷密度ρ′产生的径向电场严格抵消掉了磁场产生的洛伦兹力,使得S′参照系中的观测者得到跟S系中一样的总力严格为零的结论,从而满足相对性原理。
接下来我们仔细介绍一下如何用洛伦兹变换来解决上述佯谬。首先利用洛伦兹变换写出分别在实验室参考系S和运动参考系S′中测到的时空坐标(x,y,z,t)和(x′,y′,z′,t′)之间的变换关系:
动体介质电动力学方程
曾在香港科技大学教了10年电动力学的杜胜望老师曾对我提起,这一点他每次上课都是反复提醒,所以我们系毕业的学生大概是不会弄错了。为什么要那么较真,反复强调这个概念呢?这是因为要强调介质里的电磁场是独立的,并按照统一(跟真空中完全一样的)动力学规律演化的实实在在的物质,不是依附于介质的附庸,所以当介质开始运动的时候,其中的电磁场不会“月亮走我也走”,寸步不离地跟着介质一起运动。这一点跟介质中的声波存在本质的不同。
在介质中,电磁场会进一步引起电磁响应,即P和M,传统电磁学里将P和M所对应的极化电荷密度和分子电流密度与自由电荷产生的电荷/电流密度分开处理,因此定义了两个新的场量D和H,
原则上这两个介质中的辅助场量 (auxiliary fields) 由介质中的电磁场E和B自洽确定,而P,M和E,B(或者H)之间的关系称为本构关系,对于大部分介质来说,这个关系展开到线性就基本够用了,称为线性介质。而这些线性介质的本构关系传统上由介电常数ε和磁导率μ来刻画 (真空的介电常数和磁导率分别为ε0和μ0)。定义D=εE,B=μH,并由此得到P=(ε-ε0)E,M=
和如下“闵可夫斯基形式”的麦克斯韦方程组:其中,ρf和Jf分别代表自由电荷/电流密度。前面已经介绍过普适麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下是协变的,即保持方程形式不变,只要把所有在方程里出现的量,包括场、时空坐标和对时空坐标的导数都从不带撇的参照系换到带撇的就行。那么动体电动力学方程如果是一道习题的话,它的题面是什么呢?在这里,我们把它严格地写在下面。
动体介质电动力学问题:已知一种电磁介质,其特性在静止时由介电函数ε和磁导率μ来刻画,求当这块介质以匀速v相对于实验室参照系运动时所对应的本构关系。
接下来跟前面一样,我们把实验室参照系记为S,把随着介质一起运动的参照系记为S′。由于在S′中介质保持静止,其电磁学特性由ε和μ来刻画,为了解决上述动体介质电动力学问题,只要简单地做一个从S′系到S系的参照系变换就行。在近期的讨论中,也有同学提出如果有多块运动介质怎么办?其实这正是使用实验室参照系的优势,不管有多少块介质以不同的速度运动,都可以变换到唯一的实验室参考系来统一描述。下面,我们就用洛伦兹变换来解决这个问题。从前面这个特殊例子,可以知道在洛伦兹变换下,电磁场E,B和源场电荷/电流密度ρ和J都必须跟着变,这里我们先给出严格的洛伦兹变换下场和源的正变换和逆变换形式:
并且我们已知在S′系中的本构关系为
现在要求在S系中的电磁学方程。已经知道,S系中电磁学方程的形式还是一样的麦克斯韦方程组,唯一不清楚的就是S系里的本构关系。这也很容易求,只要在洛伦兹变换下将S′系的P′和M′变换到S系的P和M就行了。下面就来求这个变换关系。先看电极化密度P。根据定义,体系里的极化分子贡献的宏观极化强度可以表达为
,其中δV(R)为空间坐标R处的体积元,求和 i 遍历该体积元内的所有极性分子,δri代表第i个分子正负电荷中心之间的位移矢量。在S系中介质中的极性分子以v的速度沿着x轴运动,而在S′系中则是静止的,将我们在上一节中对电荷密度的分析应用于此,可以得到和,由此可以得到这部分的贡献在变换以后平行分量不变,而垂直分量要乘以一个γ因子。同时,在S系中除了上面考虑的极化分子会贡献宏观极化强度外,以速度v运动的分子电流也会对总极化强度产生额外的贡献。这部分贡献可以这样计算。首先在S′系中与磁化强度M′(r′)对应的分子电流为J′m=∇′×M′(r′),由上述电流/电荷密度变换关系,变换到S系以后会产生额外的电荷密度为。由此,很容易证明这部分额外电荷密度分布对极化强度的贡献为。将上述两部分相加,得到S系中的电极化强度:利用磁化强度与微观分子电流之间的关系,我们可以类似地得到磁化强度在不同参照系之间的变换关系,这里不做详细的推导,有兴趣的读者可以参考相关文献[4],最简洁漂亮的推导可以在泡利的Theory of Relativity中找到。与电极化强度类似,在S系中的磁化强度也有两项贡献,除了常规的分子电流带来的磁化以外,运动介质中电极化场的运动效应也将带来额外的贡献,两项相加可以得到:
下一步,我们利用S′系中已知的静态介质本构关系将P′和M′表示成E′和B′,然后再利用上述洛伦兹变换将E′和B′变换成E,B,最后将表达式里所有的γ都近似成1,就得到了精确到v/c一阶的S系中的本构关系如下[5],
闵可夫斯基于1907年得到了上述方程。它的物理含义非常简洁明了,假设一块介质在静止的时候可以用介电函数ε和磁导率μ来描述其电磁特性,那么当它以速度v运动时,就成为了一块具有“磁电”效应的介质,也就是说磁场可以诱导出电极化,而电场也能诱导出磁极化,这种磁电耦合强度,与介质和真空中的光速倒数平方之差成正比,也与介质运动的速度v成正比。当然,在这个简单的例子中,我们只讨论了最简单的均匀线性介质,在闵可夫斯基之后的一百多年时间里,又有不少文献讨论了各种更复杂的情况,比如非均匀介质和包括变形和转动在内的广义运动介质等。但无论是什么复杂的情况,麦克斯韦方程组的协变性都不会受介质运动影响,运动介质带来的影响只能体现在本构关系上,这是闵可夫斯基运动介质电动力学理论最精髓的所在。介质运动带来的最低阶修正正比于介质运动速度的一次方,完全是相对论效应。
什么是“伽利略电磁学”?
参考文献
[1] Einstein A. Annalen der Physik,2005,14:194
[2] 费曼物理学讲义,13-6,
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_13.html
[3] 乔治·伽莫夫,罗素·斯坦纳德 著,吴伯泽 译. 物理世界奇遇记,第一章至第五章. 北京:科学出版社,2008
[4] Van Bladel J. Relativity and Engineering. Springer Series in Electrophysics,1984
[5] Tai C. Proceedings of the IEEE,1964,52:685
[6] Rousseaux G. The European Physical Journal Plus,2013,128:81
[7] Le Bellac M,Levy- Leblond J M. Il Nuovo Cimento,1973,14:217
[8] de Montigny M,Rousseaux G. European Journal of Physics,2006,27:755
[9] Rousseaux G. The European Physical Journal Plus,2013,128:81
[10] 大卫·J. 格里菲斯 著,贾瑜 注释.电动力学导论(英文注释版·原书第4版). 北京:机械工业出版社,2021
[11] J. D. 杰克逊 著.经典电动力学(第3版影印版). 北京:高等教育出版社,2004
[12] 爱因斯坦 著,杨润殷 译,胡刚复 校.狭义与广义相对论浅说.北京:北京大学出版社,2018
[13]W. 泡利 著,洪铭熙,苑之方 译,留润州 校.泡利物理学讲义(第 一、二、三卷). 北京:高等教育出版社,2014
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