在本文中我们将带领读者认识广义相对论与引力场方程。笔者一直相信科学的真理都具有一些共同的特征：物理图像清晰，思想深刻但是结论优美易懂，且总可以找到浅显易懂的方式让读者品味科学非凡的美妙。在笔者看来广义相对论就是这样优美的理论，笔者期待读者在读完这篇文章后也能深深沉醉于科学的美，并惊叹于人类心智的荣耀。欢迎大家留言，并发表自己的看法！
引力理论四百年——从第谷到爱因斯坦
在讨论爱因斯坦广义相对论之前，笔者想和读者一同回顾一下引力理论自第谷到牛顿再到爱因斯坦这几百年的发展历程，对如此发展历程的回顾也是很有启发性的，事实上，淡凡一个优美的科学理论，它从诞生到发展成熟都会经历一些相似的发展历程。笔者在这里以引力理论为例展现一个科学理论不断发展进步的历程，引力理论的发展经历了如下几个不同的时代：
第谷（Tycho Brahe，1546－1601，丹麦天文学家）是开普勒（Johannes Kepler，1571 —1630，德国天文学家）的老师，第谷用毕生的精力观测并收集天文数据，身后留下海量的天文观测原始数据，并将这些数据交给了开普勒，开普勒又用毕生的时间探索研究这些原始数据，凭借惊人的毅力从这些数据中摸索总结出了开普勒的三大定律[6]。
小编旁白：我们来复习复习开普勒三大定律——
轨道定律（第一定律）：太阳系行星轨道是椭圆形的，并且太阳在椭圆焦点上。
面积定律（第二定律）：行星和太阳的连线在相同时间内扫过相同面积（这个定律被牛顿用他的第二运动定律更严格地推导出来）。
周期定律（第三定律）：公转周期的平方和椭圆的半长轴立方成正比（这个定律被牛顿用他的万有引力定律更严格地推导出来）。
虽然开普勒是用总结归纳的方式从数据中推测出了这三个重要的定律（定律和定理一个重要区别在于，前者大多是通过实验推测出来的，而后者则需要严格的数学证明——小编注）。这三个定律后来都被证实是正确的，于是科学马拉松的接力棒就传到了牛顿及爱因斯坦的手中（当然中间还有伽利略等人的贡献），他们的工作标志这这一系列工作开始走向成熟。
他们根据物理原理建立了完整的力学理论体系，更重要的是为物理定律建立了数学方程，从而严格推导出了开普勒的三大定律，根据方程还可以计算出我们想要的任何结论。从此科学探索不再依靠对已有实验数据的整理猜测，通过物理原理和数学推导所得到结论可以广泛解释自然现象，这也是人类智慧的一大突破。
正如杨振宁先生所言[7]，不同的科学领域（生物，化学等）的发展实际上都拥有类似的发展历程：
牛顿与爱因斯坦的成功之处在于他精确地把握住了科学研究最重要的两大要素：物理原理和数学方程。牛顿以后，数学方程成为了表述科学定律的标准语言，分析力学的建立，电磁场理论的发展，热力学与统计物理的发展，量子力学的发展等等，无不以建立完整的数学方程为它们的理论发展成熟之标志。著作[1]小结了物理定律与数学方程之间的关系：物理定律 <—> 数学方程。
一些物理定律和对应的数学方程——小编注
牛顿之后的下一次科学的革命发生在二十世纪初，爱因斯坦是这场科学革命的核心人物。爱因斯坦在理论上的突破，其实源于对基本物理图像的深刻洞察：物理定律是用数学方程来表达的，而数学方程是根据所选取的坐标系来表示的。爱因斯坦意识到，对物理定律的讨论不能回避对该物理系统所在的坐标系的讨论，这个看似简单却极为深刻的思想引导他建立了广义相对论的广义协变性原理。
我们在一起来理解理解这个简单却又不平凡的原理。
广义协变性原理与等效原理
深刻的科学理论总是起源于简单却不平凡的思想，起源于非凡的洞察力，广义相对论就是这样的一个理论。被用来表述物理定律的数学方程是用方程所选取的坐标系来表达的，这句话在其他物理学家看来这是普通的常识，爱因斯坦却从中洞察出了深刻的科学思想。方程选取不同的坐标系从物理的角度来看就是物理系统处于不同的环境中，一个合理的物理原理的表达应当与它所处的实验环境无关。比如说，当我们去做和引力相关的物理实验时，在地球上得到的物理定律应该和在月亮上得到的是一样的，因为引力的理论应当在宇宙中是普遍成立的，对其他的物理实验与物理定律也应当如此，用数学的语言来讲，就是被用来表述这样的物理定律的数学方程应该对一切坐标系都有效（即在任何坐标系中，方程的形式保持不变，我们称之为方程的协变性，也叫对称性）。我们再把这句话翻译成数学语言，就是广义协变性原理
普适的物理定律，是由那些对一切坐标系都有效的数学方程来表述的。
从万千世界中寻找到不变量或不变规律，是数学和物理学的共同之美——小编注
这也是广义相对论最重要的物理原理，根据这样的物理原理再结合数学方法（主要是黎曼几何的数学理论），爱因斯坦首先为引力建立了一套理论体系，之后的问题就是, 这样的一套理论体系也可以包括惯性力（就是促使我们所在的时空点变速运动的力，比如说火箭的推动力，转动离心力等）。
那么如何协调在理论体系中惯性力与引力的关系呢？爱因斯坦总结了一系列思想实验，也基于物体的惯性质量与引力质量相同的实验事实，这一系列实验都表明引力与惯性力在时空点上其实是不可区分的，爱因斯坦将这些实验现象总结为了物理原理，即等效原理（Equivalence Principle）[9]：
在任何时空点都不可能通过实验区分引力和惯性力。
简单来讲，就是说在任何时空点引力与其他惯性力是一种力，是一回事，由此以来，在任意时空点惯性力都可以被视为引力，便解决了上述问题。关于等效原理的一个有趣的思想实验就是将人放在在电梯中，然后将电梯放在两种实验场景中，一是电梯在地球上空由引力作用作自由落体运动，另一个是放在宇宙真空中作和引力加速度相同的加速落体运动（没有引力，这种使得电梯加速下落的力便是惯性力），在这两个实验场景中，电梯里的人无法区别电梯的落体运动是引力所为还是惯性力所为，所以这两种力在时空点本身就是等效、不可区别的。
等效原理也体现在惯性质量与引力质量的相等的。在牛顿力学中，关于物体有两个质量的概念，一个是根据惯性力进行计算：惯性力F=ma,这里就可以计算出物体的质量m,被称作惯性质量；两一种计算质量的方法是根据万有引力公式
有了等效原理，爱因斯坦根据广义协变性原理建立的力学理论就成为了引力相互作用的理论，这便是爱因斯坦的广义相对论。广义相对论就是这样在两个基本的物理原理（广义协变性原理 等效原理）的基础上建立起来的，通过数学理论将物理思想表述成数学方程，并用数学方程计算出来的结果广泛地解释关于引力的自然现象，广义相对论于是就成为了一种完整的引力理论。这些理论我们将在下一小节总结出来，读者只需要知道这些看似深奥的理论不过是上述两种基本物理原理的数学表述。
相对论：从狭义到广义
人类对基本相互作用的理解除了需要洞察深刻的物理思想以外，还需要精妙的数学方法，就是能够很好地能将物理思想翻译成数学语言，这是一个必要的过程，只有将物理思想翻译成数学语言才能为物理定律建立数学方程，而只有得到了数学方程才能有效地去计算我们需要的结果，这也是理论发展成熟的标志。实际上数学方法与物理思想是一个有机的整体，它们的联系非常密切。广义相对论的物理思想就是上述讨论的广义协变性原理和等效原理，它的数学方法则是黎曼几何，它涉及到现代微分几何一系列精致又优美的理论。正如保罗狄拉克（P.Dirac, 1902－1984，英国理论物理学家，二十世纪最伟大的物理学家之一。）所言：
“A physical law must possess mathematical beauty（物理定律必须具有数学美）。”
图片来自网络——小编注
当然，广义相对论并不是一瞬间就被爱因斯坦所总结出来的的。在广义相对论之前，狭义相对论（Special Relativity）的建立曾极大地启发了爱因斯坦为广义相对论去建立数学理论。在20世纪之前，人们普遍认为空间中存在一种叫做“以太”的物质，作为光和电磁波的传播媒介。然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验发现光速不随时间和参照系速度而变化，人们因此开始怀疑“以太”到底是否存在[10]。爱因斯坦在1905 年建立的狭义相对论就是基于这个实验。
狭义相对论的物理原理只有一个——狭义协变性原理（等价于光速不变原理，即真空中光速的测量与它的参考系无关）。在爱因斯坦建立了狭义相对论的物理原理后，德国数学家闵可夫斯基便为狭义相对论建立了数学理论，就是将物理原理表述为闵可夫斯基空间（平直的四维空间，和弯曲的黎曼流形不同）上的几何结构，便可以将狭义相对论的物理内容翻译成几何语言。
闵可夫斯基的方法极大地启发了爱因斯坦，当他建立了广义相对论的物理原理以后，便逐步意识到广义相对论也应该对应于一种弯曲的四维空间，使得物理内容可以被表述为几何的语言。这种弯曲的四维空间早在此前半世纪就被数学家黎曼建立了，被称为黎曼流形（也就是高维的曲面，并且这种曲面有着自己的度量，也就是计算两点间距离的方法——小编注），广义相对论使得黎曼几何成为了研究引力的基本方法。
爱因斯坦建立广义相对论的数学理论的过程颇为艰辛，先后历时8年。他靠着自己惊人的物理直觉，通过描述势能分布的泊松方程（形式简单的二阶椭圆方程——小编注）“猜”出了场方程的大致形式。而德国数学家希尔伯特也曾站在数学的角度独立地推导出了广义相对论的场方程，整个推导过程更加轻松[11]（将在后文中继续介绍——小编注）。
此外还有一点值得强调——广义相对论和狭义相对论是两种截然不同的理论。他们的差异体现在：
广义相对论是一种引力理论，它刻画了宇宙中天体的运动规律，同时也是宇宙时空结构的动力学理论。狭义相对论刻画的是微观粒子的运动规律，例如光子，胶子，中微子这些微观粒子，这些粒子的运动速度都接近光速，他们所体现的相对论效应是指狭义相对论的效应，与广义相对论无关。
这两种相对论也体现了两种不同的对称性原理，即广义相对论的广义协变性与狭义相对论的狭义协变性。由于对称性在现代物理学中处于核心重要的地位，所以不同的对称性所刻画的物理现象是完全不同的。
广义相对论所刻画的时空结构是弯曲的（因为有质量的存在），但狭义相对论的时空结构是闵可夫斯基空间，是一个平直的四维空间，相当于一个没有质量存在的引力场。
广义相对论和狭义相对论刻画了完全不同的基本相互作用。广义相对论是关于引力相互作用的理论，而狭义相对论是电，弱，强相互作用的基本理论的一部分，它刻画了和广义相对论完全不同的自然规律。
广义相对论的粗略发展流程——小编注
引力场与爱因斯坦场方程
在将物理思想翻译成数学语言的过程中，爱因斯坦最关键的思想就是将引力相互作用视为宇宙空间弯曲的几何效应。在广义相对论中，宇宙的时空结构是一个四维（时间1维 空间3维）的弯曲的黎曼流形M（读者可以想象宇宙是一个弯曲的曲面，且这个曲面是4维的），在数学中使用黎曼度量
“宇宙时空的弯曲 =引力场”
同时广义相对论为引力场
1)我们的宇宙是一个弯曲四维的黎曼流形（M,
2) 广义相对论同时也建立了计算
从数学的角度来看，广义相对论是关于宇宙结构的一种几何理论，从物理的角度来看它是关于引力相互作用的物理理论，在爱因斯坦眼里这两者没有区别，宇宙的几何结构产生引力效应，而引力效应塑造了宇宙的几何结构。
广义相对论与一系列物理实验（引力波，水星近动，光的引力红移等等）的吻合使得它成为了刻画引力相互作用最成功的理论。笔者在学习广义相对论时不禁惊叹于人类心智的伟大，广义相对论可以说是纯粹心智的产物，它起源于对物理思想深刻的洞察和体悟，成形于精致的数学方法，它是纯粹思维的产物而不是根据实验现象的猜测和总结，却成功地解释了众多的实验现象，成为破解自然奥秘的钥匙，因此它是人类心智的荣耀。笔者和小编之前合作的文章'暗物质暗能量之谜——宇宙大尺度的广义相对论！' 中介绍了考虑暗物质暗能量现象的广义相对论, 这是对爱因斯坦广义相对论的自然修正，不违反广义相对论的基本物理原理和数学理论，修正后的广义相对论可以研究大尺度的宇宙学现象，并成功地统一解释了暗物质暗能量现象，查看[4][5]。
下期预告：
我们将在下一篇文章中继续探索由广义相对论产生的两个有趣的理论：黑洞和引力波。黑洞真的难懂又神秘吗？其实不然，笔者将向读者展示如何通过场方程的一些特殊解轻松了解什么是黑洞以及它的一些有趣的性质。笔者还打算带领读者一同认识引力波这个近年来颇受关注的热点科学论题，敬请关注！
小编旁白：
关于广义相对论场方程的推导历史，还有一个很有意思的小插曲。1915年7月，德国数学家大卫∙希尔伯特（希尔伯特是数学界的通才，他总结当时最有挑战性的23个数学问题，这些数学问题几乎涵盖了纯粹数学的所有分支）邀请物理界新人爱因斯坦访问哥廷根。面对台下一位位数学界老司机，爱因斯坦在台上通过自己对惯性系的理解，让数学家们听得如痴如醉。在爱因斯坦的思想框架下，希尔伯特在一个月后便独立地推推导出了爱因斯坦场方程，比爱因斯坦早了5天。
然而希尔伯特并没有争夺场方程的专利权，因为他认为爱因斯坦的物理思想才是关键。尽管他曾开过玩笑：“就算哥廷根大学马路边的小孩都可能比爱因斯坦更懂四维几何。”（或许在希尔伯特眼中，这并不是玩笑）[8][11]
大卫∙希尔伯特。图片来自维基百科
那么在大家看来，希尔伯特和爱因斯坦，到底谁更接近于天才呢？
参考文献
[1]TianMa, Shouhong Wang: Mathematical Principles of Theoretical Physics,Science Press, August 2015, 524pp.免费下载地址：http://www.indiana.edu/~fluid/MPTP.pdf.
[2]TianMa，Shouhong Wang, Astrophysical Dynamics and Cosmology, J. Math. Study,47:4(2014), 305-378.下载地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/cosmology.pdf
[3]马天：《从数学观点看物理世界--几何分析，引力场与相对论》，科学出版社，2012.
[4]'暗物质暗能量之谜——宇宙大尺度的广义相对论！', 科普最前线。
[5] TianMa, Shouhong Wang: Gravitational field equations and theory of dark matter anddark energy. Discrete. Contin. Dyn. Syst., Ser. A 34(2), 335–366 (2014). Seealso arXiv:1206.5078.
[6] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html.
[7] http://www.xys.org/xys/ebooks/others/misc/beauty_physics.txt.
[8] L Corry, J Renn and J Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science 278 (14 November, 1997).
[9] Dicke, Robert H.; 'Mach's Principle and Equivalence', in Evidence for gravitational theories: proceedings of course 20 of the International School of Physics 'Enrico Fermi', ed. C. Møller (Academic Press, New York, 1962).
[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Michelson–Morley_experiment#cite_note-hoover-3.
[11] https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_priority_dispute#Did_Hilbert_claim_priority_for_parts_of_General_Relativity.3F
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