紧随《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的发布，各种刊物上也刊发了不少解读新课标的文章，其中，马云鹏、吴正宪两位老师的“访谈录”给了笔者不少启示。因为，它提供的并非某种简单化的认识，即如认定只需将先前提倡的“四基”“四能”与现今的“三会”进行简单组合就可很好地落实课标修订工作“继承与发展”的要求，也不是一种夸张式的评论，即如认定新课标中关于数学课程目标的论述可以被看成“在全面建设社会主义现代化国家的新征程上……交出了属于数学课程的……令人满意的答卷”；与此相对照，“访谈录”较好体现了修订工作的以下三条基本原则：（1）坚持目标导向；（2）坚持问题导向；（3）坚持创新导向。特别是清楚地表明了新课标与先前相比究竟有哪些不同或新的发展，什么又是作出相关修改或发展的主要理由，或者说，主要是围绕哪些问题进行分析研究的，什么更可被看成数学教学在当前的主要努力方向。
一
课标修订工作的最大亮点：课程内容结构化
数学教育在当前面临的最大挑战，是应当如何很好地去落实提升学生核心素养这一总体性的教育目标。对此笔者有这样一个基本看法：“三会”（“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”）不能被看成为上述问题提供了令人满意的解答；毋宁说，更加合理的一种工作态度，是认真地去琢磨什么是解决上述问题的正确路径：“核心素养具体怎么落实，在前两次的课程标准中一直没有很好地解决。核心素养的培养需要从具体的内容入手，通过知识的学习来实现”，还包括这样一个具体主张，即我们应当特别重视“课程内容的结构化”，它为我们很好地解决上述问题指明了具体路径或抓手：“强调课程内容的组织'重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径’”；又，“课程内容结构整合为落实核心素养找到了抓手。”
以下再对笔者为什么认定“课程内容结构化”可以被看成数学课程标准这一次修订工作的最大亮点作出进一步的分析说明。
首先，正如笔者在《关于数学新课标的几点思考》一文中所指出的，由于作为数学教育改革的主要指导文件，现今所采取的是“课程标准”，而非传统的“教学大纲”这种形式，因此就容易造成这样一个后果，即对于教学问题重视不够，或者说与实际教学有较大的距离。当然，现今对于“课程内容结构化”的强调所采取的仍可说是“课程”的视角，但由于其基本思想是“核心素养的培养需要从具体的内容入手，通过知识的学习来实现”，因此，与泛泛地去谈论课程目标相比较，这就可被看成一个重要进步，也即在一定程度上缩小了新课标与实际教学工作之间的距离。当然，这方面仍有大量的工作要做。例如，我们显然就应从实际教学需要这一角度更好地去理解以下的论述，即除去课程的设计，我们还应很好地实现“适应结构化特征的教学变革”，这主要依赖于“教师的不断探索”。
其次，这事实上也正是前两版《义务教育数学课程标准》何以特别强调“核心概念”的主要原因，即希望借此在数学教育目标与具体课程内容之间建立直接的联系：“核心概念提出的目标之一，就是在具体的课程内容与课程的总体目标之间建立起联系。通过把握这些核心概念，实现数学课程目标。”但从已有的实践看，单纯依靠“核心概念”尚不足以保证上述目标的实现，而且，在此显然还存在这样一个问题，即我们应当如何去从事“核心概念”的提炼，包括对已提出的“核心概念”的恰当性做出具体判断？也正是在所说的意义上，我们就可更好地认识“课程内容的结构化”的意义：这也为我们很好解决后一问题指明了可能的路径。例如，在笔者看来，这就是马云鹏、吴正宪两位老师为什么会将第三次访谈的主题直接命名为“新课标'数与运算’主题的结构化及核心概念”的主要原因。我们在以下也将采取这样一条分析路径，即将同时论及“内容的结构化”与“核心概念”这样两个论题，或者说，对于这两者之间的关系予以特别的重视。
更一般地说，笔者十分赞同马云鹏、吴正宪两位老师在“访谈录”中所表现出来的这样一种态度，即并非高高在上地“教导”人们应当如何如何去做，乃至不恰当地“宣扬”新课标中提出的各种思想有多么多么高明，而是能够坦率地亮出存在的问题与不足，包括自身在这些方面的想法或主张，从而就能有效调动和激发广大数学教育工作者、特别是一线教师参与数学教育改革的积极性，并能真正成为课程改革的主人，而不是始终处于学习与执行、乃至纯粹的“受教育”这样一种完全被动的地位，并能通过积极的教学实践对课标中提出的各种思想和新的主张做出必要的检验和发展，包括通过各方面的共同努力和密切合作促进数学教育的深入发展。当然，实现后一目标的重要条件，是我们应当坚持自己的独立思考。这也是笔者在此采取的基本立场。
在此笔者并愿首先提及这样一点：尽管强调“课程内容的结构化”确可被看成数学课程标准研制工作的一个重要进展，包括以此为依据我们可对现今所提及的各个“核心概念”的恰当性做出具体判断，但是，除非我们将后者直接定义为“核心素养的主要表现”，并满足于问题的“字面解决”，相关工作距离我们很好地实现“发展学生核心素养”这一总体性目标应当说仍有很大的距离。当然，正如前面所提及的，我们在此应特别重视这样一点，即不应将“三会”看成数学教育的主要目标，也不应将这里所说的“核心概念”简单等同于“数学核心素养”。
笔者在这方面有一个具体建议：作为数学教育目标的具体分析，我们必须跳出专业，从更广的角度进行分析研究。当然，正如前面所论及的，这方面工作仍应当坚持上述的一个基本立场：“核心素养的培养需要从具体的内容入手，通过知识的学习来实现”。由此可见，关键就在于我们如何能够很好地去处理“入”与“出”之间的关系。在笔者看来，这清楚地表明了很好发挥辩证思维指导作用的重要性，或者说，这是我们所应坚持的又一基本立场。
为了清楚地说明问题，在此还可特别提及日本著名数学家、菲尔茨奖获得者广中平祐在其自传中提到的这样两个观点：（1）应当很好认识与处理“（数学）知识的学习”与“智慧的发展”之间的关系，并应将后者看成数学学习的主要目标；（2）这是智慧最主要的特征：“灵活性”“深刻性”与“强大性”。显然，后者可统一归结为“思维的品质”，从而也就与笔者在这方面的基本主张十分一致，即我们应当通过数学教学帮助学生逐步地学会思维，努力提高他们的思维品质。
基于篇幅的考虑，以下就主要围绕“数与运算”这一主题，对我们应当如何更好地理解与落实“课程内容结构化”作出具体分析。
二
“数与运算”的结构化及核心概念
除去为什么应当特别重视“课程内容的结构化”这一问题以外，我们应当深入思考的又一问题，即什么是“结构化”的具体涵义。对此笔者有这样一个具体看法：尽管对于“关联性、一致（统一）性、发展性、阶段性”的强调可以被看成这方面的普遍共识，但就这方面的具体工作而言，人们又往往只是强调了“关联性和一致性”，而未能对“发展性和阶段性”予以同样的重视。
正因为此，人们在很多情况下所论及的“结构性观念”就可说与一般所谓的“整体性观念”（或“联系的观点”）并无任何重要的区别，特别是，两者常常都被理解成对于“碎片化教学”的直接反对与必要纠正。例如，“课程内容的结构化最本质的就是注重知识之间的关联。这种关联是通过结构化的方法，把碎片化的东西联系起来。”正如上面所提及的，相关分析往往又与“核心概念”的提炼有着直接的联系，如“结构化要求学生不仅要学习单个内容，记住某个概念，还要掌握内容之间的关联，体会知识的本质，而建立这些关联的关键就是核心概念，也就是大概念、大观念”；又，“在知识概念的整体建构中，以核心概念统领，抓住本质，沟通知识之间的联系，这样结构化的教学才能促进学生理解性的学习。”
就“数与运算”这一主题而言，我们应明确地提出这样两个问题：（1）新课标中为什么要将“数的认识”与“数的运算”合并成同一主题？（2）我们为什么又应将“计数单位”看成这方面最重要的核心概念？以下就是马云鹏、吴正宪两位老师提供的具体解答：（1）应当清楚地看到“数”和“运算”之间的联系：“数与运算是相伴而生的，二者紧密相连”；“数是运算的基础，运算是数的运算……二者不可分割”；又，“对数与运算内容进行结构化整合，就是要重视对数概念和运算概念的整体理解，抓住共同的核心要素，沟通知识的内在关联，这是探索发展学生核心素养的重要路径。”（2）“新课标将计数单位作为数的认识的核心概念，就将整数、小数、分数三者统一起来了，因为无论是分数、小数还是整数，都是用多少个计数单位来表达的”；“我们把所有的运算都统一到基于计数单位和计数单位个数的运算，就可以将整数、小数、分数的运算贯通起来，实现数与运算的一致性。”
但是，我们又应如何看待这方面认识的发展性与阶段性？对此“访谈录”中也有一定论述，即如认为“计数单位”的学习可以分为这样三个阶段：“第一学段，通过万以内数的学习'理解数位的意义’；第二学段，通过大数和小数的学习，了解十进制计数法，通过分数的学习，初步感悟分数单位；第三学段，将整数、小数、分数贯通起来，明确提出计数单位。”但在笔者看来，这方面的认识仍有深化的必要，特别是，我们应从更高层面对此做出更深入的分析，并应努力做好“高观点”的指导与渗透。
具体地说，“整体性观念”与“结构化思想”的主要区别在于：如果说前者主要强调了不同对象之间的联系，特别是，我们如何能够超越细节建立整体性的认识，那么，后者就更加强调认识发展的阶段性与层次性。就目前的论题而言，这就是指，我们究竟应当将“数的认识”与“数的运算”看成两个不同的主题，还是将此看成两个不同的认识水平或阶段？
显然，前者正是新课标在这方面采取的基本立场，即认为我们应将“数”看成具有明确现实意义的独立对象（更简要地说，就是具体的“量”），然后进一步去研究它们之间的关系，特别是运算关系；与此相对照，现代数学观的一种具体体现，即认为除去相互关系以外，“数”不具有任何独立的意义，这也就是指，数是什么（或者说，具有什么性质）完全决定于它们的相互关系。
由公理系统的不同理解我们即可对这里所说的“现代数学观”有更好的了解：如果说这正是这一方面的传统认识，即认为应将公理系统看成关于某种特定对象的真理体系——“对象—公理—定理”体系，那么，按照现代的数学观，它就应被理解成一个“假设—演绎”体系，也就是指，我们完全不用关心所论及的对象究竟是什么，因为，后者应被看成是由相应的公理系统完全决定的。例如，我们可从后一角度去理解希尔伯特的以下名言：我们完全可以用“桌子、椅子、啤酒杯”去代替几何中的“点、线、面”。
面对上述分析相信有不少读者会立即提出异议：您说的可能是对的，但这与基础数学教育实在相距太远，从而就不具有任何的教学指导意义。这事实上也正是笔者在《关于数学新课标的几点思考》一文中表达的又一观点，即我们不应将“课程内容的结构化”以及相应的教学变革理解成“教结构，用结构”，因为，“教结构，用结构”是20 世纪 60 年代在世界范围内盛行的“新数运动”给予我们的一个重要启示或教训。具体地说，“新数运动”最重要的一个指导思想，是认为我们应当用现代数学思想对传统的数学教育进行改造，从而实现数学教育的现代化：“这里，一个主要的前提就是要像 20 世纪的数学家所理解的那样，去逐步向学生揭示数学结构，从而使学生们进一步领会、应用研究和爱好数学。” 但是，由于所说的目标完全超出了学生的接受能力，因此，尽管人们曾为此做出了巨大努力，一些数学家更曾对此充满了信心，这一改革运动最终仍然未能逃脱失败的命运。
但是，作为问题的另一方面，这仍应被看成强调“结构化”的一个重要涵义，即我们应当高度重视“高观点”的指导与渗透。相信读者由以下论述即可对此有更清楚的认识。
例如，从上述立场进行分析，将“计数单位”看成这方面最重要的“核心概念”就不很合适。因为，即使就小学数学教学而言，我们也应注意超越“将数看成计数单位的简单积累”这样一个认识，而应更加重视数与数之间的相互关系。例如，后者显然就可被看成我们为什么必须从“比”这一角度去理解分数的主要原因。还应提及的是，对于“数与数之间的关系”，我们事实上也不应仅仅理解成“运算关系”，而应将“大小关系”等也考虑在内。用更加专业的语言来说，这也就是指，小学学习的“数”不仅具有“基数”这样一种涵义， 也应被看成是一种“序数”。
也正因此，笔者以为，相对于唯一地强调“计数单位”，著名特级教师俞正强老师的以下论述就更加合理，因为，这不仅清楚地表明了各种数与运算之间的同一性，也清楚地表明了这方面认识的发展性与层次性：
“可以说，'比较’这一数学思想贯穿了小学数学学习的始终，对此并可简单地罗列为下列几个典型句式：
第一阶段（一、二年级）：□比□多（少）几？
第二阶段（三、四年级）：□是□的几倍 [ 几倍多（少）几 ] ？
第三阶段（五、六年级）：□是□的几分之几 [ □比□多（少）几分之几 ] ？”
进而，从同一角度我们也可看出将“量感”列为小学数学的“核心概念”之一并不合适。具体地说，尽管小学，特别是低段的数学教学确应十分重视数学与实际生活的联系，包括适当发展学生的量感，但后者主要地又应被看成属于“日常认知”的范围，从而与“学校数学”相比就属于较低的层次。也正因此，随着学习的深入，我们应将教学重点转向数量关系的认识，包括如何能够通过相关分析很好地解决相应的度量问题，特别是，应由直接的度量转向算法的学习。应当提及的是，正如“访谈录”中所明确提及的，这事实上也可被看成新课标在这一部分为什么特别强调“计数单位”、而不是“度量单位”的主要原因。
建议读者还可从同一角度对以下问题作出自己的分析，即我们是否应当将“运算律”看成“数与运算”主题下又一重要的“核心概念”。因为，除去数的性质并不仅限于运算关系这样一点以外，还有一个十分重要的事实，即现代数学的研究对象已经超出了一般意义上的算术结构（“标准算术”），同时涉及各种“非标准算术”，而“非标准算术”的主要特征，就是通常意义上的运算律（结合律、交换律等）在其中并非一定成立。正如“非欧几何”在数学中地位的确立，各种“非标准算术”系统的建立对于数学的现代发展也有十分重要的意义，标志着人们的认识已经上升到了一个更高的水平。
为了更清楚地说明问题，以下再围绕我们应当如何理解和把握“数量关系”这一主题做出进一步的分析，特别是，我们是否应当将“数与运算”和“数量关系”看成两个并列的主题或内容？
首先，正如前面提到的，我们应将“数的运算”看成“数量关系”的一个十分重要的涵义，尽管这并非唯一的涵义；其次，相对于将此看成两个不同的主题，“数与运算”“数量关系”主要地也应被看成两个不同的认识层次：前者所反映的主要是“操作（程序）性观念”，即是集中于如何能够通过具体计算去求得所需要的结果，后者所体现的则是“结构性观念”，也即更加重视数量之间关系的分析，或者说，我们即应将“数”看成整体性数学结构的一个有机组成成分。容易想到，后者可被看成“代数思维”的一个重要涵义，而且，尽管“代数思维”就总体而言已经超出了小学数学的范围，但我们仍应十分重视相关思想在小学数学教学中的渗透与指导作用。
由以下实例可以看出，这一目标并非高不可攀，真正的关键则在于我们是否对此具有清楚的认识。
“小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如 3 4，这里值得注意的是我们要强调 3 4'等于’7，而不要说'得到’7。因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果，就是我们经常说的'得到’；二是表示'相等关系’。我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解。因此，有时候让一年级的学生接触 7=3 4 这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成'得到’。当然，这里也要尝试让学生理解 7 同样也等于4 3，3 4=4 3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如 17 29=16 30……此外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199 59=200 58，148 68=149 70-2，149 68 150 70-3。”
进而，正如人们普遍了解的，这是学生在学习方程时经常会出现的一种错误：
3x=5 13=18。
由此可见，如果教师不注意引导，那么，由“算术思维”（“操作性观念”）向“代数思维”（“结构性观念”）的过渡就未必会自然而然地实现。
再者，从同一角度我们也可看出，单纯从“方法”，特别是“模式”（应当提及，马云鹏、吴正宪两位老师在访谈中所使用的是“模型”而非“模式”这样一个词语。但是，由于“模型”应当被看成从属于特定的对象，因此，笔者以为，后者是更加恰当的一个选择）的角度对“数量关系”的涵义做出具体解释，包括将此分成“运算意义”“建立模型”“字母表示关系或规律”这样三个阶段，乃至唯一地强调“应用数学模型解决问题”并不合适，因为，就总体而言，它们都未能超出“就题论法”这样一个层面，而这又应被看成这方面教学工作的一个更高追求，即我们应当超出“就题论法”上升到“就题论道”，应当通过日常的数学教学（包括“解题教学”），帮助学生逐步地学会思维，特别是，努力提高他们的思维品质。
综上可见，我们既不应超越学生的认识水平盲目地去追求所谓的“高水平发展”，同时又应很好地认识与落实“结构化思维”的指导作用，特别是，无论就课程内容的组织或是相应的教学工作而言，我们都不应满足于相关内容的“结构化整合”，而也应当十分重视“高观点”的指导与渗透，即应切实地做好“居高临下”，包括超越原先的认识并在更高的层次实现新的整合，也即如何能够通过认识的发展更好地揭示对象之间的一致性与统一性。
上述结论对于“图形与几何”等领域应当说也是同样成立的，这也就是指，我们应就相关内容认真地去思考如何才能很好地落实“课程内容的结构化”这样一个主张，包括对于后者涵义的正确理解。例如，就几何内容而言，这就是两个特别重要的问题：（1）我们应当如何认识“图形的认识”与“测量”之间的关系，特别是，这方面的工作是应当局限于以“实际操作”为基础的整合，还是应当通过认识的发展在更高层次上实现新的整合，包括切实地做好“以发展代替重复，用深刻促成简约”（俞正强语）；（2）我们又应如何认识与处理“图形的认识和测量”和“图形的位置与运动”这两者之间的关系，特别是，什么可被看成“结构化整合”这一思想在这方面的具体体现和实际应用？
进而，通过相关分析相信读者也可更好地理解笔者关于小学算术和几何内容教学的以下总结，即我们应当如何把握相应的“大道理”，什么又可看成这方面最重要的“核心概念”。
小学关于“数与运算”的教学应当突出“比较”这一核心，从而帮助学生更好地掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，还应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等，并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括很好地认识数学与现实世界之间的关系。
小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，更好地发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应当对于图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视。
总之，希望上述分析能引发读者的深入思考，从而就能将数学教育教学工作，包括“数学课程标准”的修订工作做得更好！
| 作者：郑毓信，教授，博士生导师，南京大学哲学系
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