如何把握复习《选修4－5：不等式选讲》的方向

                            《不等式选讲》是在必修模块数学5中第三章《不等式》的基础上学习的，总的来说仍然继续学习了不等式的基础性知识，但增加了不等式的证明和“柯西不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”的推证及应用，使得教学内容较多，难度增大，学生学起来费劲，教师教起来困难。作为新高考复习，如何把握复习这个专题内容的方向，是摆在我们面前急需解决的问题。本文就谈谈自己在这方面的体会，不妥之处还望批评指正。

一．《不等式选讲》构成的背景及其定位

众所周知，不等式一直在中学数学教材中占有相当的位置，也一直是高考中的必考内容，但由于“不等式的证明”所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点，给学生的学习带来了一定的困难。因此，近些年来，不等式内容有逐渐淡化处理的倾向。不等式问题的处理逐渐呈现出淡化理论阐述与推导、减少恒等变换的技巧训练的趋势。

《普通高中数学课程标准》（实验稿）对不等式的处理分为两个部分：一是必修模块数学5中的一元二次不等式、二元一次不等式组以及基本不等式，重在强调不等式的现实背景和实际应用，把不等式作为描述、刻画优化问题的一种数学模型；二是选修系列4中的专题5——“不等式选讲”，涉及的内容仍然大都是基础性的不等式知识。如含有绝对值的不等式、不等式的基本证明方法、几个重要的不等式等。

特别值得注意的是，“不等式选讲”仍属于高等院校招生考试的命题范围。而且，考虑到不等式在高等数学中的基础性和工具性特点，《标准》在“不等式选讲”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”等几个重要不等式的内容，并特别强调这些不等式的几何背景知识的介绍，意在增强学生对不等式本质的认识，为后续进一步的学习做准备。

二.《不等式选讲》标准

    在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

本专题主要介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

内容与要求

1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2.理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

   

 （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

      

3.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义。

（1）证明柯西不等式向量形式：

（2）   4.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：

5.用向量递归方法讨论排序不等式。

6.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：

了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

8.会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

9.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

   10．完成一个学习总结报告。

说明与建议

1．在本专题教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质。

2．利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法。例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。要求教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。

3．数学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。要求教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。

三．高考中如何考《不等式选讲》

先分析以下近三年海南、宁夏的新高考关于这一专题的考题：

1.07年24题（本小题满分10分）：已知函数，

（1）解不等式 >2;(2)求函数最小值。

 

2.08年24题（本小题满分10分）：已知函数 ，（1）作出函数 的图像；（2）解不等式 。

3.09年24题（本小题满分10分）：如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上的三点，C为OM线段上的动点。设x表示C与原点的距离，y表示C到A的距离的4倍与C到B的距离的6倍的和。

（1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值?

 

 

 

            O        A           B         M    

 

                    10           20        30 x

点评：从以上三年的考题可以看出，《不等式选讲》都是重点考查两层绝对值函数性质的应用，包括建立函数关系式、画函数图像、解不等式和求最值等等；同时考查了数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想的应用。这类题具有一定的典型性和普遍性，属基础题，较简单，估计大多数学生都能解对。

四．如何把握复习《选修4－5：不等式选讲》的方向

从以上分析，我们在复习《选修4－5：不等式选讲》时，要将两层绝对值函数作为复习的重点，熟练掌握其性质及其应用，会解相关不等式。要淡化证明不等式，对柯西不等式、排序不等式和贝努力不等式的推导和应用更要降低难度，切不要拔高要求，顾此失彼。特提出如下教学建议：

1.回顾高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。

2、控制难度不拓展

在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；

不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。

代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。

3、重视不等式的应用

不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。

4、重视展现著名不等式的背景

几个重要不等式都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背景知识。

5.关于明年高考题预测：继续考查两层绝对值函数性质及应用；或者考查用“均值不等式”、“柯西不等式”求最值问题，有一定的灵活性和综合性。

6.重视课本、回归课本（2007年高考湖北卷最后一道压轴题就来源于课本，考查“贝努利不等式”的证明和公式的应用，试题很新颖），也是我们复习时必须注意的重要环节。课本的数学思想方法是我们解题的关键所在，必须牢固和熟练掌握。回归课本，最终目标是从课本出发，把学生引向高考数学的至高点。