谈数学问题设计应注意的问题

数学教学不论采用何种教学方式，都是在不断提出问题、分析问题、解决问题的过程中展开的，问题是数学教学的中心。因此教师的问题设计优劣是影响教学质量高低的重要因素之一，在数学教学问题设计中，教师应通过得出的问题控制学生学习的内容和方法，以保证学生学习的积极性、主动性、系统性、有效性和持久性。
　　
　　一、问题设计之前的分析与思考
　　
　　现行数学教材的编写是高度简略的，没有阐述知识的产生与发展过程以及研究方法，而学生学习研究时。又必须让学生充分经历知识的产生与发展过程，体会探究未知知识的方法和快感。这就要求教师在备课时，思考以下问题：一是该教什么?要分清教材中哪些是基本的理论，哪些是基本的结论，隐含了什么研究问题的方法，经过了怎样的研究历程等。二是要为什么教?要明确所教的目的，即三维目标，学习这些内容有什么实际应用，能解决哪些实际问题，培养学生什么能力等。三是该怎么教?根据学生思维能力和知识水平设计什么样的程序，提出什么样的导学性问题，创设什么样的情境，怎样引导学生进行分析总结结论和方法，以及怎样进行反思等。
　　
　　二、问题设计应遵循的原则
　　
　　1　针对性原则
　　紧紧围绕教学目标，针对学生的实际情况和教材的重点、难点来进行设计，设计的问题题意清楚，条理分明，语言精练，有助于学生理解概念，辨析疑难，纠正错误，完善认知结构。
　　2　基础性原则
　　基础性包括两方面的涵义：一是设计的问题要体现学生发展的需要，使学生学有所得；二是要以学生已有的经验为基础，学生有能力解决。设计的问题不仅要让学生“跳一跳，才能摸得到”，有发展的空间；而且要让学生“跳一跳，就能摸得到”，有成功的可能。
　　3　科学性原则
　　首先，要求设计的问题从情景素材到具体内容都是真实可信的，不违背科学常理；其次，设计的问题还应融入科学方法的要素，使学生学习模型、理想化、假说等方法；设计的问题还要注重体现科学思想和科学价值观，体现新形势对学生发展的要求。
　　4　启发性原则
　　教师应抓住教学的内在矛盾，把握时机，在新旧知识的结合点设计问题，使学生达到心求通而不解，口欲言而不能的“愤”、“悱”状态，从而激发学生积极地进行思维活动。
　　5　开放求异性原则
　　开放和发散的问题可引导学生从不同的角度探究问题的解决方法和途径，培养学生的发散思维和求异思维。因此教师设计问题的过程中，既要注意基本知识点的中心性，又要引导学生从不同的角度去思考，进行发散思维，深刻领会与中心知识点有密切联系的知识。
　　6　有序性原则
　　设计的问题要结合教学内容的层次性和系统性，由浅入深，由简到繁，环环相扣，层层推进，有助于提高课堂的效率，集中学生的注意力，培养学生思维的深刻性。
　　7　现实性原则
　　设计的问题要结合学生的生活实际，联系科技、生产实际，要有时代气息，突出“应用性、实践性”，表现数学学习在人类文明中的巨大作用，使学生认识数学学习的意义，激发学习的动力，同时提高运用数学知识的能力。
　　8　发展性原则
　　增加问题的开放性，促进多方位的发展。设计问题，或将学习引向深入，揭示其数学本质；或引发一些新的思考，打开通向新世界之门，让数学教学达到韵味无穷的境界。
　　
　　三、问题设计的一般性方法
　　
　　1　设计问题要有趣味性，引发学生学习兴趣
　　复杂的学习领域应针对学生先前的经验和学生的兴趣，只有这样，才能激发学生学习的积极性，学习才有可能是主动的。利用学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物作为教学活动的切入点，使他们能迅速进入思维发展的“最近区”，掌握学习的主动权。如，在“一定摸到红球吗”这堂课中，要让学生掌握判断一类事件发生可能性的方法，并能设计符合要求的简单概率模型，笔者设计了一个“我们最默契”的游戏：请各小组从生活中搜集素材设计一些事件，再请他们的好友表示该事件发生的确定性与不确定性，比赛哪些同学最默契。学生的思维非常活跃，设计出很多有意思、有意义的确定和不确定事件：太阳一定是东升西落；在全班同学中任意抽取一人是女生；伊拉克战争中英美联军向萨达姆的30所官邸同时发射导弹，击中了萨达姆，等等。然后请他们的好友回答该事件的可能性是多少。我发现在游戏进行过程中，被叫到的学生非常兴奋，他们对于自己成为与他人配合最默契的好朋友感到非常高兴。整堂课学生抒发了自己对集体的热情，对世界大事的关心，还有对友谊的真诚。
　　2　设计能打破学生认知发展的平衡状态，引导学生积极探究
　　学生认知发展就是观念上的平衡状态不断遭到破坏，并不断达到新的平衡状态的过程。因此，所设计的问题要引发学生认知上的不平衡，从而让学生清楚地看到自身已有知识的局限性，产生要努力通过新的学习活动，达到新的、更高的平衡的冲动。
　　如，负数的引入可这样设计，某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得O分；每个队的基本分均为0分，给出四个队答5道题的情况，然后让学生与同伴进行交流，每个代表队的最后得分是多少?你是怎样表示的?这样在表示的过程中，学生发现小学学过的“数怎么不够用了?”从而自然地引入负数的概念。通过这样设置问题，让问题在学生新的需要与原有水平之间产生冲突，激发了学生的学习动机，不断切入学生思维的最近发展区，缩短学生原有水平与学习目标之间的距离，从而拓展学生的心智品质。
　　3　设计探究型问题，培养学生动手能力
　　数学家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面，它是严谨科学；但另一方面，它是创造过程中的数学，是一门实验性的归纳科学。”把课堂变成“小型的科学实验室”，实验程序并非完全给定，而是开放式的，要求学生自己搜集资料、自己观察、自己分析、自己总结。从人类知识角度看，这类实验并未提出新的见解，不过是一种重复；但是，对于学生个体而言，却是一种探究，是独立的发现，是知识的再创造。我们应利用实验型的问题，使学生在操作、观察、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的获得与验证，以及数学知识的应用。
　　如。已知在四边形ABcD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。对于这个问题，学生不难证明，但数学不能到此为止，可以引导学生进行多方面的思考分析。
　　思考一：本例除了教材的证明方法之外，你还能想出

其他证明方法吗?
　　思考二：分别顺次连结以下四边形的四条边的中点，所得到的是什么四边形?从中你能发现什么规律?
　　(1)平行四边形 (2)矩形 (3)菱形(4)正方形(5)梯形(6)直角梯形 (7)等腰梯形
　　思考三：顺次连结n(n≥3)边形的各边中点得到怎样的n边形?顺次连结正多边形(各边相等，各角也相等的多边形)各边的中点，得到的是什么多边形?是正多边形吗?思考四：分析例题添加辅助线的方法。从中你受到了什么启发?能否得出在已知中点条件下添加辅助线的一些规律?
　　4　设计实践型问题，拓展课程资源空间
　　数学知识是一个动态的发展的知识体系，由于教材(课程资源的一种)内容有其时间、地域的局限性，不可能面面俱到，与学科知识和教育理论的前沿也有一定的时间差，所以教学中要拓展教材的时空局限，开展综合实践活动，培养学生收集信息、处理信息的能力。
　　如，学习了相似三角形和三角函数等知识后，教师可这样提出一个问题：怎样测量学校旗杆的高度?怎样测量尖山大桥的跨度?(五点定位法)针对各种不同的实际情况，设计不同的测量_方法。教师组织学生到实地考察，记录所看到的实际情形，每人设计测量的具体方案，然后分四人小组讨论交流，把本小组的各种设想进行汇总和整理，再选择几种介绍，这样，可以使不同水平的学生都能参与，充分发挥学生的想象力，展示学生的思维特点，真正做到自主探究，提高创新精神和实践能力。
　　5　设计互逆型问题，培养学生逆向思维能力
　　学生的思维发展总是遵循相互制约、相互促进、相互联系的规律。逆向思维就是突破习惯性思维的束缚，做出与习惯性思维的方向完全相反的探究。逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以发现一些新的规律。正向思维可以习惯性地在学生头脑中扎根，而逆向思维未经特殊训练就难以形成。在教学中若有意识地设计一些互逆型问题，从另一些方而去开阔学生的思路，就会使学生养成从正向和逆向不同的方向去认识、理解、应用新知识的习惯，从而也就提高了学生分析问题、解决问题的能力。数学本身提供了大馈的可逆思维的素材，逆定理、互逆公式、逆运算，几乎每一个问题都能提出逆向问题，这就为我们构造互逆型问题、培养学生的逆向思维能力提供了条件。如整式乘法与因式分解，幂的运算等。
　　6　设计类比型问题，培养学生的类比、归纳能力
　　法国数学家拉普拉斯指出：“在数学里，发现真理的主要工具是类比和归纳。”类比是在两类不同事物之间进行对比找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。归纳是对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般性结论的方法，其认识依据在于同类事物的各种特殊情形中蕴含的同一性和相似性。由于数学学科知识具有很强的外扩性，而新扩知识总是与扩前知识有很多相似之处。因此，利用设计的类比型问题，引导学生开展各种类比、归纳等丰富多彩的探究活动，鼓励学生进行一般与特殊、无限与有限等的类比，以达到培养和发展学生创造性思维的目的。如，学习有理数混合运算法则，可以类比小学数学的混合运算法则；实数的混合运算法则，又可以类比有理数的混合运算法则；乘方的意义，可以类比乘法的意义；二元二次方程的意义，可以类比一元二次方程的意义；分式的基本性质、运算法则，可以类比分数的基本性质及其运算法则，等等。